描述:假设N=(V,{E})是一个连通网,U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。

证明:

假设网N的任何一棵最小生成树都不包含(u,v)。设T是连通网上的一棵最小生成树,当边(u,v)加入到T中时,由生成树的定义,T中必存在一天包含(u,v)的回路。另一方面,由于T是生成树,则在T上必存在另一条边(u’,v’),其中u’∈U,v’∈V-U,且u和u’之间,v和v’之间均有路径相通。删去边(u’,v’),便可消除上述回路,同时得到另一棵生成树T’。因为(u,v)的代价不高于(u’,v’),则T’的待机亦不高于T,T’是包含(u,v)的一棵最小生成树。由此和假设矛盾。

Prim算法:

假设 N=(V,{E})是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={uo}(uo∈V),TE{}开始,重复执行下述操作:在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(uo,vo)并入集合TE,同时vo并入U,直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边,则T=(V,{TE})为N的最小生产数。

Kruskal算法:

假设连通网N=(V,{E}),则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边,若该边依附的顶点落在T不同的连通分量上,则将此边加入到T中,否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推,直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

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