[置顶] [BZOJ]2127: happiness 最小割

happiness：

Description

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

Input

第一行两个正整数n，m。接下来是六个矩阵第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。

Output

输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值

Sample Input

1 2
1 1
100 110
1
1000

Sample Output

1210

【样例说明】
两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。
【数据规模】
对于100%以内的数据，n,m<=100 所有喜悦值均为小于等于5000的非负整数

首先发现题目出现了很明显的二分图关系--选文科还是理科，很明显是一个网络流问题，联系到题目上的一个人选文科还是理科可以得到一定喜悦值，两个人同时选文科还是理科，又可以得到一定喜悦值，发现最终答案是由每个人选文科，还是选理科，这个行为确定的，与最小割有一定关系。

继续观察，如果按最小割建立模型，每个人选文选理的代价可以在与s，t的连边上体现，这时难点就变成了如何体现两个人之间的关系：同时选文或选理需要的代价。

这时引入一个很神奇的东西，无向边。

这个东西是我在clj的ppt上看见的，有一个很有用的作用：若A<-->B:C，即A与B连一条权值为C的无向边，当这条无向边计入最小割时，表示这两个点分属于s，t两个集合。

但是仅仅知道如此是不够的，因为对于A，B两点，如果他们都属于S集合，即与T集合的边已经计入最小割了，那A与B之间的边就一定不会出现在最小割里，这一点可以作图验证一二。

所以我们应该对原图进行一定变换。注意到这里我们是想将两个点之间的关系体现在同时取s集或同时取t集的情况，即与s,与t的连接边：若A与B同时选文得到W1的喜悦值，同时选理得到W2的喜悦值，S->A:w1/2，A->T:w2/2，

S->B:w1/2，B->T:w2/2，A<-->B:(w1+w2)/2。

为什么呢？自己画图验证，很神奇的东西，特别难想，不过做过一遍以后再做就觉得很容易了。

/**************************************************************
    Problem: 2127
    User: 1156603280
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:756 ms
    Memory:8620 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cmath>
#define maxn 10000
using namespace std;
int n,m;
int s,t;
int tot=1;
int fir[200000],en[200000],nex[200000],f[200000];
void ins(int a,int b,int c,int d){
    nex[++tot]=fir[a];
    fir[a]=tot;
    en[tot]=b;
    f[tot]=c;

    nex[++tot]=fir[b];
    fir[b]=tot;
    en[tot]=a;
    f[tot]=d;

}
int ch[200][200][2];

int flow;
int d[200000],now[200000],num[200000],pre[200000],his[200000];
void  sap(){
    flow=0;
    for (int i=0;i<=t;i++){
        now[i]=fir[i];
        d[i]=num[i]=0;
        }
    num[0]=t;
    int aug=0x7fffffff;
    bool flag;
    int i=s;
    while (d[s]<t){
        his[i]=aug;
        flag=false;
        for (int k=now[i];k;k=nex[k])
            if (f[k]>0&&d[i]==d[en[k]]+1){
                aug=min(aug,f[k]);
                flag=true;
                now[i]=k;
                pre[en[k]]=i;
                i=en[k];
                if (i==t){
                    flow+=aug;
                    while (i!=s){
                        i=pre[i];
                        f[now[i]]-=aug;
                        f[now[i]^1]+=aug;
                        }
                    aug=0x7fffffff;
                    }
                break;
                }
        if (flag) continue;
        int k1=0,minn=t;
        for (int k=fir[i];k;k=nex[k])
            if (f[k]>0&&minn>d[en[k]]){
                k1=k;
                minn=d[en[k]];
                }
        now[i]=k1;
        if (!--num[d[i]]) return;
        d[i]=minn+1;
        num[d[i]]++;

        if (i!=s){
            i=pre[i];
            aug=his[i];
            }
        }

}

int sum=0;
int main(){
//  freopen("2127.in","r",stdin);
//  freopen("2127.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=n*m+1,t=n*m+2;
    for (int i=1;i<=n;i++)           //割文  去理
        for (int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&ch[i][j][0]);
            sum+=ch[i][j][0];
            ch[i][j][0]*=2;
            }
    for (int i=1;i<=n;i++)           //割理  去文
        for (int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&ch[i][j][1]);
            sum+=ch[i][j][1];
            ch[i][j][1]*=2;
            }

    for (int i=1;i<=n-1;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            sum+=tmp;
            ins((i-1)*m+j,i*m+j,tmp,tmp);
            ch[i][j][0]+=tmp;
            ch[i+1][j][0]+=tmp;
            }
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            sum+=tmp;
            ins((i-1)*m+j,i*m+j,tmp,tmp);
            ch[i][j][1]+=tmp;
            ch[i+1][j][1]+=tmp;
            }

    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m-1;j++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            sum+=tmp;
            ins((i-1)*m+j,(i-1)*m+j+1,tmp,tmp);
            ch[i][j][0]+=tmp;
            ch[i][j+1][0]+=tmp;
            }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m-1;j++){
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            sum+=tmp;
            ins((i-1)*m+j,(i-1)*m+j+1,tmp,tmp);
            ch[i][j][1]+=tmp;
            ch[i][j+1][1]+=tmp;
            }

    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++){
            ins(s,(i-1)*m+j,ch[i][j][0],0);
            ins((i-1)*m+j,t,ch[i][j][1],0);
            }
    sap();

    printf("%d",sum-flow/2);

    return 0;
}