Lost My Music:倍增实现可持久化单调栈维护凸包
题目就是求树上每个节点的所有祖先中(ci-cj)/(dj-di)的最小值。
那么就是(ci-cj)/(di-dj)的最大值了。
对于每一个点,它的(ci,di)都是二维坐标系里的一个点
要求的就是祖先节点的所有点与目前节点连线的最小斜率
比较容易想到单调栈优化,像斜率优化dp一样
但是关键是本题在树上,会有很多麻烦的操作。
当搜到某一个儿子时可能会弹很多栈,而回溯的过程中需要把它们加回来。
如果暴力执行的话,会在蒲公英图退化为n2。
考虑优化:现在的关键就是在于在一个元素可能被弹栈/还原多次的情况下如何快速维护?
考虑倍增。st[i][j]表示从j的代表元素在栈里向前跳2i个元素后的代表元素是谁。我们可以对于每一个节点都开一个log级别的栈。
那么只需要探讨要把某一个元素接在父亲栈里的哪一个位置就好了。单调栈当然满足单调性,故可以倍增跳跃。
那么对于父亲节点的栈其实我们并不改变它。
一个元素因为可能弹栈所以后端的元素可能不唯一,但是入栈时间确定那么前面的元素就唯一确定。
单调栈顶就是最优决策点。
研究代码,很好理解。
#include<cstdio>
int st[][],fir[],l[],to[],cnt,n,c[];
int q[],fa[],dep[];long double ans[];
void link(int a,int b){l[++cnt]=fir[a];fir[a]=cnt;to[cnt]=b;}
long double calc(int x,int y){return .0L*(c[x]-c[y])/(dep[y]-dep[x]);}
void pop_push(int p){
int x=fa[p];
for(int i=;i>=;--i)if(st[][st[i][x]]&&calc(st[][st[i][x]],st[i][x])<calc(st[i][x],p))x=st[][st[i][x]];
if(st[][x]&&calc(st[][x],x)<calc(x,p))x=st[][x];
st[][p]=x;ans[p]=calc(st[][p],p);
for(int i=;i<=;++i)st[i][p]=st[i-][st[i-][p]];
}
int main(){
scanf("%d",&n);q[]=;
for(int i=;i<=n;++i)scanf("%d",&c[i]);
for(int i=;i<=n;++i)scanf("%d",&fa[i]),link(fa[i],i);
for(int h=,t=;h<=t;++h){
dep[q[h]]=dep[fa[q[h]]]+;pop_push(q[h]);
for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])q[++t]=to[i];
}
for(int i=;i<=n;++i)printf("%.8Lf\n",ans[i]);
}
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