UE4 常用数学

转自：https://dawnarc.com/2016/07/mathlinear-algebra%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF%E5%A4%96%E7%A7%AF%E5%8F%89%E7%A7%AF%E4%B8%8E%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF%E5%86%85%E7%A7%AF%E7%82%B9%E7%A7%AF/

一、向量积（外积、叉积）与数量积（内积、点积）

原理

叉积 http://baike.baidu.com/view/973423.htm

点积 http://baike.baidu.com/view/2744555.htm

两向量的叉乘(叉积、外积)仍然是一个向量：

1. 这个向量的大小为原两向量模的乘积乘以其夹角的正弦值，也就是说在数值上等于两向量平移后形成的平行四边形的面积。
2. 这个向量的方向是与两个原向量都垂直的方向，其指向用右手准则来判断。
   参考自：https://www.zhihu.com/question/22902370

右手法则

叉乘右手法则：
当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

参考自：https://zhidao.baidu.com/question/98443003.html

返回值范围

点积（数量积）返回值范围：

两个普通向量点积返回值可以是无限大或无限小，两个单位向量点积返回值的范围大小：(-1, 1)。

以UE4数学函数为例，FVector::DotProduct(V1, V2) / (V1.Size() * V2.Size())等价于FVector::DotProduct(V1.GetSafeNormal(), V2.GetSafeNormal())。

差积（向量积）返回值范围：

向量积|c| = |a x b| = |a| |b| sin<a, b>
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

向量叉乘与叉乘矩阵

向量叉乘与叉乘矩阵
https://www.cnblogs.com/monoSLAM/p/5349497.html

UE4中的点积、叉积函数

UE4的叉积（向量积、外积）函数：

FVector::CrossProduct()

UE4的点积（数量积、内积）函数：

FVector::DotProduct()

具体代码示例

FVector V1(.f, .f, .f);
FVector V2 = FRotator(.f, .f, .f).RotateVector(V1);
FVector V3 = FRotator(.f, .f, .f).RotateVector(V1);
FVector V4 = FRotator(.f, .f, .f).RotateVector(V1);

float d1 = FVector::DotProduct(V2, V3);
float d2 = FVector::DotProduct(V3, V2);
float d3 = FVector::DotProduct(V3, V4);
float d4 = FVector::DotProduct(V2, V4);

其中各个值为：

V2 = (86.6f, .f, .f)
V3 = (70.7f, 70.7f, .f)
V4 = (.f, 86.6f, .f)
d1 = 9659.25781
d2 = 9659.25781
d3 = 9659.25781
d4 = 8660.25391

二、已知方向向量，求该向量与空间坐标轴的夹角

原始的数学公式不列举了，需要的话找个Math库看下源码。这里以UE4的API说明：

情况一：已知两个坐标点，求连线与空间坐标的夹角

已知空间中两个点FVector V1, V2，方向向量V3 = V2 - V1，求V3与空间坐标的夹角：

FRotator R = (V2 - V1).Rotation();

情况二：单个向量与世界坐标的夹角

已知方向向量Vector V1，求V1与空间坐标轴的夹角Rotator R1：即将Vector转换为Rotator

FRotator R1 = FVector(.f, .f, .f).Rotation();
FRotator R2 = FVector(-.f, -.f, .f).Rotation();
FRotator R3 = FVector(.f, .f, .f).Rotation();
FRotator R4 = FVector(.f, .f, .f).Rotation();

结果分别是：

R1 = {Pitch=0.0 Yaw=45.0 Roll=0.0 }
R2 = {Pitch=0.0 Yaw=-135.0 Roll=0.0 }
R3 = {Pitch=0.0 Yaw=0.0 Roll=0.0 }
R4 = {Pitch=0.0 Yaw=90.0 Roll=0.0 }

FVector::Rotation()函数的内部实现（局部）：

FRotator R;

// Find yaw.
R.Yaw = FMath::Atan2(Y,X) * (.f / PI);

// Find pitch.
R.Pitch = FMath::Atan2(Z,FMath::Sqrt(X*X+Y*Y)) * (.f / PI);

// Find roll.
R.Roll = ;

return R;

情况三：两个空间向量的夹角度数

FVector V1 = ...;
FVector V2 = ...;
float Angle = FMath::RadiansToDegrees(acosf(FVector::DotProduct(V1.GetSafeNormal(), V2.GetSafeNormal())));

运算结果值的范围为：0到180。

求点积时的两个向量一定要是单位向量，否则计算结果会大于Pi（正常范围是0到Pi）。

三、基于某点向某方向上投射指定距离后的坐标计算

代码：

float Len = FMath::Sqrt( *  +  * );
FVector Loc = FVector(.f, .f, .f) + FRotator(.f, .f, .f).Vector() * Len;

结果：

Loc = {X=.f, Y=.f, Z=.f}

FRotator::Vector()对应的蓝图函数为GetRotationXVector

=================================

例子2：

float Len = FMath::Sqrt( *  +  * );
FVector Loc1 = FVector(.f, .f, .f) + FRotator(.f, .f, .f).Vector() * Len;
FVector Loc2 = FVector(.f, .f, .f) + FRotator(.f, .f, .f).Vector() * Len;
FVector Loc3 = FVector(.f, .f, .f) + FRotator(.f, .f, .f).Vector() * Len;
FVector Loc4 = FVector(.f, .f, .f) + FRotator(.f, .f, .f).Vector() * Len;

结果：

Loc1 = {X=.f, Y=.f, Z=.f}
Loc2 = {X=-.f, Y=.f, Z=.f}
Loc3 = {X=-.f, Y=-.f, Z=.f}
Loc4 = {X=.f, Y=-.f, Z=.f}

四、如何检测某个点是否在多边形内部或者直线上

点在多边形内的判别方法

int pnpoly(int nvert, float *vertx, float *verty, float testx, float testy)
{
    int i, j, c = ;
    for (i = , j = nvert-; i < nvert; j = i++)
    {
        if (((verty[i] > testy) != (verty[j] > testy)) &&
            (testx < (vertx[j] - vertx[i]) * (testy - verty[i]) / (verty[j] - verty[i]) + vertx[i]) )
        {
            c = !c;
        }
    }
    return c;
}

Arguments

• nvert: Number of vertices in the polygon. Whether to repeat the first vertex at the end has been discussed in the article referred above.
• vertx, verty: Arrays containing the x- and y-coordinates of the polygon’s vertices.
• testx, testy: X- and y-coordinate of the test point.

https://stackoverflow.com/a/2922778/1645289

点在两点之间的直线上的判别方法

bool isLieOnLine()
{
    dxc = currPoint.x - point1.x;
    dyc = currPoint.y - point1.y;

    dxl = point2.x - point1.x;
    dyl = point2.y - point1.y;

    //point lies on the line if and only if (dxc * dyl - dyc * dxl) is equal to zero.
    bool isCrossLine = dxc * dyl - dyc * dxl == ;

    if(isCrossLine)
    {
        if (abs(dxl) >= abs(dyl))
          return dxl >  ?
            point1.x <= currPoint.x && currPoint.x <= point2.x :
            point2.x <= currPoint.x && currPoint.x <= point1.x;
        else
          return dyl >  ?
            point1.y <= currPoint.y && currPoint.y <= point2.y :
            point2.y <= currPoint.y && currPoint.y <= point1.y;
    }

    return false;
}

https://stackoverflow.com/a/11908158/1645289

参考

How to check if a given point lies inside or outside a polygon?
http://www.geeksforgeeks.org/how-to-check-if-a-given-point-lies-inside-a-polygon/

How to check if a point is inside a rectangle?
http://math.stackexchange.com/questions/190111/how-to-check-if-a-point-is-inside-a-rectangle

How can I determine whether a 2D Point is within a Polygon?
http://stackoverflow.com/questions/217578/how-can-i-determine-whether-a-2d-point-is-within-a-polygon#

How to check if a point lies on a line between 2 other points
https://stackoverflow.com/questions/11907947/how-to-check-if-a-point-lies-on-a-line-between-2-other-points

Check if a point belongs on a line segment
https://www.lucidar.me/en/mathematics/check-if-a-point-belongs-on-a-line-segment/

五、两个旋转矩阵（Rotation Matrix）相乘（Multiply）的几何意义

讲之前，先说下如果两个Rotation相加的意义，比如：

FRotator Rot1(.f, .f, .f);
FRotator Rot2(.f,.f, .f);
FRotator Result = Rot1 + Rot2;

得到的结果FRotator Result(90.f, 90.f, 0.f)，其意义是： 物体相对空间坐标原点的Rotation为(90.f, 90.f, 0.f)，很好理解。

如果两个Rotation转换为Martix并相乘，比如：

FRotator Rot1(.f, .f, .f);
FRotator Rot2(.f,.f, .f);
FRotator Result =( FRotationMatrix(Rot1) * FRotationMatrix(Rot2)).Rotator();

得到的结果FRotator Result(0.f, 90.f, 90.f)，其意义是： 先将物体作Rot1旋转，即：Yaw方向（水平平面）旋转90度，然后再假设该物体相对坐标轴原点的旋转量为(0, 0, 0)，即没有作任何旋转，但实际Rotation相对坐标轴原点为(0, 90, 0)；然后再将物体进行Rot2旋转，即Pitch方向（垂直于(90, 0, 0)方向的平面）侧翻90度，因为侧翻90度前假设物体的Rotation是(0, 0, 0)，所以侧翻时所在的平面不再是Yaw=90的平面（垂直于(0, 90, 0)方向），而是Yaw=0的平面（垂直于(90, 0, 0)方向）。没做相关配图，这段话理解起来有点绕，最好用空间思维想象下，可以用手掌比划。

实际应用：

比如空间中有两个物体：A和B，现在要将A旋转至与B相同的朝向，目前只知道A的相对世界坐标的Rotation Rw(90.f,0.f, 0.f)、B相对A（将A的Rotation当做(0, 0, 0)）的Rotation Rr(0.f, 90.f, 0.f)，求A旋转后的世界坐标Rotation。
此时的计算公式就是：

(FRotationMatrix(Rr) * FRotationMatrix(Rw)).Rotator()

注意：矩阵相乘时，两个乘数的前后位置不同则计算的结果也不同，比如上面例子，如果是( FRotationMatrix(Rot2) * FRotationMatrix(Rot1)).Rotator，则结果是Rotation(90, -90, -180)。

一个典型应用：以UE4为例，当角色移动时，不能将默认MoveForward的实参（比如(1.0, 0.f, 0.f)）和MoveRight的实参（比如(0.0, 1.f, 0.f)）传递给AddMovementInput，因为InputValue需要相对摄像机的朝向来计算，否则当按下W键，期望角色摄像机正对方向移动，但实际是侧向移动。此时就可以通过旋转矩阵相乘来获取当前摄像机朝向方向下的MoveForward和MoveRight方向。

FRotator AMyPlayerController::GetInputRotationInWorld()
{
    FRotator Ret = FRotator::ZeroRotator;
    if (AMyCharacter* Player = Cast<AMyCharacter>(GetPawn()))
    {
        if(UCameraComponent* CameraComp = Player->GetFollowCamera())
        {
            FRotator InputRotLS = FVector(ForwardInputValue, RighInputInputValue, .f).Rotation();
            FRotator CameraRotWS = FRotator(.f, CameraComp->GetComponentRotation().Yaw, .f);
            Ret = (FRotationMatrix(InputRotLS) * FRotationMatrix(CameraRotWS)).Rotator();
        }
    }

    return Ret;
}

Video Tutorials

Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3
https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE

六、抛物线Parabola movement

header

AStaticMeshActor* TestCube = nullptr;

//throw speed
UPROPERTY(EditDefaultsOnly)
FVector StartForce = FVector(.f, .f, .f);

//gravitational acceleration
float GravityAcclerator = -.f;

//accumulated movtion time
float AccumulateTime = .f;

cpp

void ATestTPGameMode::StartPlay()
{
    Super::StartPlay();

    //finding the Actor in scene.
    for (TActorIterator<AStaticMeshActor> Iter(GetWorld()); Iter; ++Iter)
    {
        if (Iter->GetName() == TEXT("Cube_2"))
        {
            TestCube = *Iter;
            break;
        }
    }
}

void ATestTPGameMode::Tick(float DeltaSeconds)
{
    Super::Tick(DeltaSeconds);

    AccumulateTime += DeltaSeconds;

    //calculate gravitational speed in real time.
    float ZSpeed = GravityAcclerator * AccumulateTime;

    //calculate summation speed of gravitational speed and throw speed.
    FVector CurrSpeed = StartForce + FVector(.f, .f, ZSpeed) ;

    //calculate movement distance in real time.
    FVector MoveDist = CurrSpeed * DeltaSeconds;

    //set relative location.
    TestCube->AddActorWorldOffset(MoveDist, true);
}

七、空间点到直线垂足坐标的解算方法

算法1

原文：https://blog.csdn.net/zhouschina/article/details/14647587

假设空间某点O的坐标为（Xo，Yo，Zo）,空间某条直线上两点A和B的坐标为：(X1,Y1,Z1),(X2，Y2，Z2),设点O在直线AB上的垂足为点N，坐标为(Xn，Yn，Zn)。点N坐标解算过程如下： 首先求出下列向量：

由向量垂直关系（公式1）

点N在直线AB上，根据向量共线（公式2）：

由公式2得（公式3）：

把公式3式代入公式1式，式中只有一个未知数k，整理化简解出k（公式4）：

把公式4式代入公式3式即得到垂足N的坐标。

二维空间

// 二维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
    const Point &pt,     // 直线外一点
    const Point &begin,  // 直线开始点
    const Point &end)   // 直线结束点
{
    Point retVal;

    double dx = begin.x - end.x;
    double dy = begin.y - end.y;
    if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 )
    {
        retVal = begin;
        return retVal;
    }

    double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
        (pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y);
    u = u/((dx*dx)+(dy*dy));

    retVal.x = begin.x + u*dx;
    retVal.y = begin.y + u*dy;

    return retVal;
}

三维空间

// 三维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y,z;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
    const Point &pt,     // 直线外一点
    const Point &begin,  // 直线开始点
    const Point &end)   // 直线结束点
{
    Point retVal;

    double dx = begin.x - end.x;
    double dy = begin.y - end.y;
　　double dz = begin.z - end.z;
    if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 && abs(dz) < 0.00000001 )
    {
        retVal = begin;
        return retVal;
    }

    double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
        (pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y) + (pt.z - begin.z)*(begin.z - end.z);
    u = u/((dx*dx)+(dy*dy)+(dz*dz));

    retVal.x = begin.x + u*dx;
    retVal.y = begin.y + u*dy;
　　retVal.y = begin.z + u*dz;
　　
    return retVal;
}

算法2

原文：3D Perpendicular Point on Line From 3D point
https://stackoverflow.com/questions/9368436/3d-perpendicular-point-on-line-from-3d-point

计算p1、p2连成的直线上的离 q 点最近的点 f（即 q 点到直线 p1、p2的垂足坐标）：

XNA实现

Vector3 p1 = new Vector3(x1, y1, z1);
Vector3 p2 = new Vector3(x2, y2, z2);
Vector3 q = new Vector3(x3, y3, z3);

Vector3 u = p2 - p1;
Vector3 pq = q - p1;
Vector3 w2 = pq - Vector3.Multiply(u, Vector3.Dot(pq, u) / u.LengthSquared());

Vector3 f = q - w2;

UE4实现

FVector GetPerpendicularPointToLine(const FVector& PointStart, const FVector& PointEnd, const FVector& PointPerpendicular)
{
    FVector Line = PointEnd - PointStart;
    FVector PS = PointPerpendicular - PointStart;
    FVector W2 = PS - (Line * (PS | Line) / Line.SizeSquared());
    FVector FootPoint = PointPerpendicular - W2;

    return FootPoint;
}

UE4引擎提供的工具函数：

FVector UKismetMathLibrary::FindClosestPointOnLine(FVector Point, FVector LineOrigin, FVector LineDirection)
{
    const FVector SafeDir = LineDirection.GetSafeNormal();
    const FVector ClosestPoint = LineOrigin + (SafeDir * ((Point-LineOrigin) | SafeDir));
    return ClosestPoint;
}

参考

Perpendicular on a line segment from a given point
https://stackoverflow.com/questions/10301001/perpendicular-on-a-line-segment-from-a-given-point

How do you find a point at a given perpendicular distance from a line?
https://stackoverflow.com/questions/133897/how-do-you-find-a-point-at-a-given-perpendicular-distance-from-a-line

八、已知三点求平面方程、平面法向量和点到平面的距离

原文：https://blog.csdn.net/zhouschina/article/details/8784908

已知三点p1（x1,y1,z1），p2(x2,y2,z2)，p3(x3,y3,z3)，要求确定的平面方程。
关键在于求出平面的一个法向量，为此做向量p1p2（x2-x1,y2-y1,z2-z1), p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1),平面法线和这两个向量垂直，因此法向量n：

平面方程：

a * (x - x1) + b * (y - y1) + c * (z - z1) = ;
d = -a * x1 - b * y1 - c * z1;

平面方程2:

a * x + b * y + c * z + d=;

代码：

//已知3点坐标，求平面ax+by+cz+d=0;
void get_panel(Point p1, Point p2, Point p3, double &a, double &b, double &c, double &d)
{
    a = ( (p2.y - p1.y) * (p3.z - p1.z) - (p2.z - p1.z) * (p3.y - p1.y) );

    b = ( (p2.z - p1.z) * (p3.x - p1.x) - (p2.x - p1.x) * (p3.z - p1.z) );

    c = ( (p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y) * (p3.x - p1.x) );

    d = (  - (a * p1.x + b * p1.y + c * p1.z) );
}

// 已知三点坐标，求法向量
Vec3 get_Normal(Point p1, Point p2, Point p3)
{
    double a = ( (p2.y - p1.y) * (p3.z - p1.z) - (p2.z - p1.z) * (p3.y - p1.y) );

    double b = ( (p2.z - p1.z) * (p3.x - p1.x) - (p2.x - p1.x) * (p3.z - p1.z) );

    double c = ( (p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y) * (p3.x - p1.x) );

    return Vec3(a, b, c);
}

//点到平面距离
double dis_pt2panel(Point pt, double a, double b, double c, double d)
{
    return f_abs(a * pt.x + b * pt.y + c * pt.z + d) / sqrt(a * a + b * b + c * c);
}

UE4提供的工具函数：

/**
* Calculate the projection of a point on the plane defined by PlaneBase and PlaneNormal.
*
* @param Point The point to project onto the plane
* @param PlaneBase Point on the plane
* @param PlaneNorm Normal of the plane (assumed to be unit length).
* @return Projection of Point onto plane
*/
static FVector FVector::PointPlaneProject(const FVector& Point, const FVector& PlaneBase, const FVector& PlaneNormal);

参考

三维凸包+点到平面距离+已知3点求平面方程
http://blog.csdn.net/pvpishard/article/details/7912511

Distance from point to plane
http://mathinsight.org/distance_point_plane

点到平面的垂足
http://blog.csdn.net/threewind/article/details/5980613