Description

给定一个长度为 \(n\) 序列,值域为 \([1, v]\),每次选择一段区间,要求在这个区间上选择一些元素加入到两个集合中,每个元素要么不选要么只能加入一个集合,要求两个集合非空且元素和相等,问能否实现。

同时要求区间修改元素为自身的立方对 \(v\) 取模的结果。

Limatations

\(1 \leq n \leq 10^5\),\(1 \leq v \leq 1000\)

Solution

考虑一段长度为 \(len\) 的区间,考虑每个点有选入集合和不选入集合两种可能,所以所有选择的种数一共有 \(2^{len}\) 种。考虑由于值域为 \(v\),所以可能出现的权值和一共有 \(len \times v\) 种。考虑当 \(2^{len} > len \times v\) 时,一定至少有两个不同的选择得到了相同的权值。考虑这两个选择可能会选择相同的元素,那么直接将这些相同的元素都去掉,由于去掉的元素相同,最终得到的权值和依然是相同的,并且两个集合无交。因此这种情况一定能实现。

解方程

\[2^{len} > len \times v\]

两侧同时取 \(\log\),整理得

\[len - \log len > \log v\]

显然 \(v\) 取最大值时,左侧取最大值,因此有

\[len - \log len > 10\]

显然当 \(len\) 充分大时,左侧的值与 \(len\) 正相关,枚举 \(len\) 得到

\[len > 13\]

因此当 \(len \geq 14\) 时,可以直接输出 \(Yes\),下面考虑 \(len \leq 13\) 的情况。

考虑最简单的方法是爆搜,枚举每个元素不选还是选入集合 \(A\) 还是选入集合 \(B\),时间复杂度 \(O(3^{len})\),由于一共有 \(m\) 次查询,时间复杂度超标。

考虑进行 meet in the middle,先搜索区间前 \(6\) 个元素的所有情况,记录所有可能的 \(A\) \(B\) 两集合元素和之差,再搜索区间后 \(7\) 个元素的情况,同样记录所有可能的元素和之差。一旦有一个差在两侧都有出现,那么只需要一个集合左边选较大的右边选较小的;另一个集合左边选较小的右边选较大的,即可得到两个合法的集合,反之则不能得到。

因此这这样的复杂度为 \(O(2^{len / 2})\),由于有 \(m\) 次操作,实际运算量与 \(2^7 \times m\) 同阶,可以通过本题。

考虑区间修改操作,只需要分块或者线段树即可快速维护。

Summary

zxy 天下第一

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