神、上帝以及老天爷

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Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了!
为了活跃气氛,组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动,这个活动的具体要求是这样的:
首先,所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中;
然后,待所有字条加入完毕,每人从箱中取一个字条;
最后,如果取得的字条上写的就是自己的名字,那么“恭喜你,中奖了!”
大家可以想象一下当时的气氛之热烈,毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀!不过,正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾,这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖!
我的神、上帝以及老天爷呀,怎么会这样呢?
不过,先不要激动,现在问题来了,你能计算一下发生这种情况的概率吗?
不会算?难道你也想以悲剧结尾?!

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C 行数据,每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例,请输出发生这种情况的百分比,每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入),具体格式请参照sample output。

Sample Input

1
2

Sample Output

50.00%
 
涨姿势了。
::错排问题(D

n

显然D

1

=0,D

2

=1。当n≥3时,不妨设n排在了第k位,其中k≠n,也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。
  • 当k排在第n位时,除了n和k以外还有n-2个数,其错排数为Dn-2
  • 当k不排在第n位时,那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”,这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排,都等价于只有n-1个数时的错排(只是其中的第k位会换成第n位)。其错排数为Dn-1
所以当n排在第k位时共有D

n-2

+D

n-1

种错排方法,又k有从1到n-1共n-1种取法,我们可以得到:

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)

view code#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 21;
int n, _;
ll A[N], D[N];
double ans[N]; void init()
{
A[1] = D[2] = 1; A[2] = 2;
for(ll i=3; i<N; i++)
{
A[i] = A[i-1]*i;
D[i] = (i-1)*(D[i-1]+D[i-2]);
}
for(int i=2; i<N; i++)
ans[i] = 1.0*D[i]/A[i]*100.0;
} int main()
{
init();
cin>>_;
while(_--)
{
scanf("%d", &n);
printf("%.2f%%\n", ans[n]);
}
return 0;
}

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