点分治：

点分治的题目基本一样，都是路径计数。

其复杂度的保证是依靠 $O(n)$ 找重心的，每一次至少将问题规模减小为原先的$1/2$。

找重心我喜欢$BFS$防止爆栈。

  1.  int Root(int x){
  2.      dfsn[]=;
  3.      q.push(x); fa[x]=;
  4.      flag[x]=;
  5.      while(!q.empty()){
  6.          int x=q.front(); q.pop();
  7.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  8.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  9.              if(!v[p] && !flag[p]){
  10.                  fa[p]=x;
  11.                  flag[p]=;
  12.                  q.push(p);
  13.              }
  14.      }
  15.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  16.          siz[dfsn[i]]=;
  17.          h[dfsn[i]]=;
  18.          flag[dfsn[i]]=;
  19.      }
  20.      int root=;
  21.      for(int i=dfsn[];i>=;i--){
  22.          int x=dfsn[i];
  23.          if(fa[x]){
  24.              siz[fa[x]]+=siz[x];
  25.              h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
  26.          }
  27.          h[x]=max(h[x],dfsn[]-siz[x]);
  28.          if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
  29.      }
  30.      return root;
  31.  }

故总共有 $O(logn)$ 层。

在每一层我们分别对不同的块（删点而形成）采用 $O(siz[p])$ 的算法。

主定理 $T(n) = T(n/2) + O(n)$

总体上是 $O(nlogn)$

大体框架如下

  1.  void DC(int x){
  2.      v[x]=;
  3.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  4.          if(!v[p]){
  5.    //    大体上是f[x]*ft[x]就是
  6.   //     Ans = (之前的子树的路径数)*（当前子树的路径数）
  7.          }
  8.    //    将标记什么的清空，注意保证复杂度是O(siz)不是O(n)
  9.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  10.          if(!v[p]) DC(Root(p));
  11.  }

然后对于点分治路径的统计，通常有dp，数据结构，数论等等的方法。

注意：要记得上面的方法没有统计以点x为起点的路径条数，记得加上。

例题：

BZOJ 3697

题意：

给出一棵树，每一条边为黑或白，统计满足条件的路径数

1.路径上黑色和白色的个数相等

2.路径上存在一个点使得起点到当前点黑色和白色的个数相等，此点不能是起点终点。

乍一看是没有解法的，套用点分治。

问题转化为统计过点x的合法路径条数。

套用dp

$f(x,0)$ 表示和为x，无休息站的

$f(x,1)$ 表示和为x，有休息站的

$$ans = f(0,0) * ft(0,0) + \sum_{i=-d}^d {f(i,0) \cdot ft(-i,1) + f(i,1) \cdot ft(-i,0) + f(i,1) \cdot ft(-i,1)} $$

 

条件2可以转化为在当前点到x的路径上有点的$dis(p) = dis(now)$

所以注意保证初始化的复杂度

所以记录一下当前的最大深度，初始化 $f$ 数组和 $ft$ 数组的时候从0循环到 $max deep$

  1.  #include <cstdio>
  2.  #include <cstring>
  3.  #include <algorithm>
  4.  #include <queue>
  5.  
  6.  #define N 400010
  7.  #define p E[i].x
  8.  #define LL long long
  9.  #define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
  10.  
  11.  /*
  12.  树形dp
  13.  f(x,0) 表示和为x，无休息站的
  14.  f(x,1) 表示和为x，有休息站的
  15.  ans = f[0][0] * ft[0][0] +
  16.      ∑ f[i][0]*ft[-i][1] + f[i][1]*ft[-i][0] + f[i][1]*ft[-i][1]
  17.      (-d <= i <= d)
  18.  */
  19.  
  20.  using namespace std;
  21.  
  22.  struct edge{
  23.      int x,to,v;
  24.  }E[N<<];
  25.  
  26.  int n,totE;
  27.  int g[N],dfsn[N],fa[N],siz[N],h[N];
  28.  bool v[N],flag[N];
  29.  LL ans;
  30.  LL f[N][],ft[N][];
  31.  queue<int> q;
  32.  
  33.  void ade(int x,int y,int v){
  34.      E[++totE]=(edge){y,g[x],v}; g[x]=totE;
  35.  }
  36.  
  37.  int Root(int x){
  38.      dfsn[]=;
  39.      q.push(x); fa[x]=;
  40.      flag[x]=;
  41.      while(!q.empty()){
  42.          int x=q.front(); q.pop();
  43.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  44.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  45.              if(!v[p] && !flag[p]){
  46.                  fa[p]=x;
  47.                  flag[p]=;
  48.                  q.push(p);
  49.              }
  50.      }
  51.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  52.          siz[dfsn[i]]=;
  53.          h[dfsn[i]]=;
  54.          flag[dfsn[i]]=;
  55.      }
  56.      int root=;
  57.      for(int i=dfsn[];i>=;i--){
  58.          int x=dfsn[i];
  59.          if(fa[x]){
  60.              siz[fa[x]]+=siz[x];
  61.              h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
  62.          }
  63.          h[x]=max(h[x],dfsn[]-siz[x]);
  64.          if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
  65.      }
  66.      return root;
  67.  }
  68.  
  69.  int mxdep;
  70.  int cnt[N],d[N],dis[N];
  71.  
  72.  void dfs(int x,int fa){
  73.      mxdep=max(mxdep,d[x]);
  74.      if(cnt[dis[x]]) ft[dis[x]][]++;
  75.      else ft[dis[x]][]++;
  76.      cnt[dis[x]]++;
  77.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  78.          if(p!=fa&&!v[p]){
  79.              d[p]=d[x]+;
  80.              dis[p]=dis[x]+E[i].v;
  81.              dfs(p,x);
  82.          }
  83.      cnt[dis[x]]--;
  84.  }
  85.  
  86.  void DC(int x){
  87.      v[x]=;
  88.      f[n][]=;
  89.      int mx=;
  90.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  91.          if(!v[p]){
  92.              dis[p]=n+E[i].v;
  93.              d[p]=mxdep=;
  94.              dfs(p,p);
  95.              mx=max(mx,mxdep);
  96.              ans+=(f[n][]-)*ft[n][];
  97.              for(int j=-mxdep;j<=mxdep;j++){
  98.                  ans+=ft[n-j][]*f[n+j][]+
  99.                      ft[n-j][]*f[n+j][]+ft[n-j][]*f[n+j][];
  100.              }
  101.              for(int j=n-mxdep;j<=n+mxdep;j++){
  102.                  f[j][]+=ft[j][];
  103.                  f[j][]+=ft[j][];
  104.                  ft[j][]=ft[j][]=;
  105.              }
  106.          }
  107.      for(int i=n-mx;i<=n+mx;i++)
  108.          f[i][]=f[i][]=;
  109.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  110.          if(!v[p]) DC(Root(p));
  111.  }
  112.  
  113.  int main(){
  114.      scanf("%d",&n);
  115.      for(int i=,x,y;i<n;i++){
  116.          int v;
  117.          scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
  118.          if(!v) v=-;
  119.          ade(x,y,v); ade(y,x,v);
  120.      }
  121.      DC(Root());
  122.      printf("%lld\n",ans);
  123.      return ;
  124.  }

然后是HDU 4812

题意：给出一棵树，每一个点有一个点权，找到一条点权乘积为K的路径，输出起点和终点，要求字典序最小。

求一下逆元，然后用map记录前面的所有子树能够到达的权值（乘积）

注意这是点权，不同于边权，所以在处理过点x的路径的时候要谨慎，我的做法是将路径拆为 x点 ， 之前子树中的一条链， 当前子树中的一条链。

用map复杂度多一个log，然而也能过。

  1.  #include <cstdio>
  2.  #include <cstring>
  3.  #include <algorithm>
  4.  #include <map>
  5.  #include <queue>
  6.  
  7.  #define N 400010
  8.  #define LL long long
  9.  #define mod 1000003
  10.  #define p E[i].x
  11.  #define INF 0x3f3f3f3f
  12.  #define ipos map<int,int>::iterator
  13.  
  14.  using namespace std;
  15.  
  16.  struct edge{
  17.      int x,to;
  18.  }E[N<<];
  19.  
  20.  map<int,int> ft,f;
  21.  int n,ansv[],totE,K;
  22.  int h[N],g[N],siz[N],a[N],fa[N],dfsn[N],dis[N];
  23.  bool v[N],flag[N];
  24.  queue<int> q;
  25.  
  26.  int add(int a,int b){
  27.      if(a+b>=mod) return a+b-mod;
  28.      return a+b;
  29.  }
  30.  
  31.  int mul(int a,int b){
  32.      return (int)((LL)a*(LL)b%mod);
  33.  }
  34.  
  35.  int qpow(int x,int n){
  36.      int ans=;
  37.      for(;n;n>>=,x=mul(x,x))
  38.          if(n&) ans=mul(ans,x);
  39.      return ans;
  40.  }
  41.  
  42.  int inv(int x){
  43.      return (int)qpow((LL)x,mod-2LL);
  44.  }
  45.  
  46.  void ade(int x,int y){
  47.      E[++totE]=(edge){y,g[x]}; g[x]=totE;
  48.  }
  49.  
  50.  int Root(int x){
  51.      dfsn[]=;
  52.      q.push(x); fa[x]=;
  53.      flag[x]=;
  54.      while(!q.empty()){
  55.          int x=q.front(); q.pop();
  56.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  57.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  58.              if(!v[p] && !flag[p]){
  59.                  fa[p]=x;
  60.                  flag[p]=;
  61.                  q.push(p);
  62.              }
  63.      }
  64.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  65.          siz[dfsn[i]]=;
  66.          h[dfsn[i]]=;
  67.          flag[dfsn[i]]=;
  68.      }
  69.      int root=;
  70.      for(int i=dfsn[];i>=;i--){
  71.          int x=dfsn[i];
  72.          if(fa[x]){
  73.              siz[fa[x]]+=siz[x];
  74.              h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
  75.          }
  76.          h[x]=max(h[x],dfsn[]-siz[x]);
  77.          if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
  78.      }
  79.      return root;
  80.  }
  81.  
  82.  void bfs(int x){
  83.      dfsn[]=;
  84.      q.push(x); flag[x]=;
  85.      while(!q.empty()){
  86.          int x=q.front(); q.pop();
  87.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  88.          if(!ft.count(dis[x]) || ft[dis[x]]>x)
  89.              ft[dis[x]]=x;
  90.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  91.              if(!v[p] && !flag[p]){
  92.                  flag[p]=;
  93.                  dis[p]=mul(dis[x],a[p]);
  94.                  q.push(p);
  95.              }
  96.      }
  97.      for(int i=;i<=dfsn[];i++)
  98.          flag[dfsn[i]]=;
  99.  }
  100.  
  101.  void upd(int a,int b){
  102.      if(a>b) swap(a,b);
  103.      if(ansv[]>a || ansv[]==a&&ansv[]>b){
  104.          ansv[]=a;
  105.          ansv[]=b;
  106.      }
  107.  }
  108.  
  109.  void DC(int x){
  110.  //    printf("node : %d\n",x);
  111.      v[x]=;
  112.      f.clear();
  113.      f[]=x;
  114.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  115.          if(!v[p]){
  116.              ft.clear();
  117.              dis[p]=a[p];
  118.              bfs(p);
  119.              for(ipos it=ft.begin();it!=ft.end();it++){
  120.                  int tmp=(*it).first;
  121.                  if(f.count(mul(mul(K,inv(tmp)),inv(a[x])))){
  122.                      upd(f[mul(mul(K,inv(tmp)),inv(a[x]))],
  123.                          (*it).second);
  124.                  }
  125.              }
  126.              for(ipos it=ft.begin();it!=ft.end();it++){
  127.                  if(!f.count((*it).first)) f[(*it).first]=(*it).second;
  128.                  else f[(*it).first]=min(f[(*it).first],(*it).second);
  129.              }
  130.          }
  131.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  132.          if(!v[p]) DC(Root(p));
  133.  }
  134.  
  135.  int main(){
  136.  //    freopen("test.in","r",stdin);
  137.      while(scanf("%d%d",&n,&K)==){
  138.          ansv[]=ansv[]=INF;
  139.          totE=;
  140.          for(int i=;i<=n;i++) g[i]=;
  141.          for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v[i]=;
  142.          for(int i=,x,y;i<n;i++){
  143.              int v;
  144.              scanf("%d%d",&x,&y);
  145.              ade(x,y);
  146.              ade(y,x);
  147.          }
  148.          DC(Root());
  149.          if(ansv[]==INF) puts("No solution");
  150.          else printf("%d %d\n",ansv[],ansv[]);
  151.      }
  152.      return ;
  153.  }

最后是 国家集训队的 crash的文明世界

题意：

定义：

求所有点的S(i)

很显然是点分治，斯特林数是什么，我不会 TAT

记录$f(i)$表示$\sum {dist(p,x)^i }$，$ft$同理

考虑每一次统计过x的路径时将过x的路径的影响加入子树中的点，同时在最后将$S(i)$加上$f(K)$

坑点就是合并的时候要用一下 二项式展开

$$ S(p) += \sum_{i=0}^K {C(K,i) * f(K-i) * b^i}$$

然后注意要统计全路径，所以上面的框架不适用（上面的框架对于当前子树只能统计遍历过的子树，而应该是统计所有除了当前子树的权值和）

然后就可以了，自己歪歪（看不懂题解），一遍AC爽。

  1.  #include <cstdio>
  2.  #include <cstring>
  3.  #include <algorithm>
  4.  #include <queue>
  5.  
  6.  #define N 200010
  7.  #define mod 10007
  8.  #define M 310
  9.  #define p E[i].x
  10.  
  11.  using namespace std;
  12.  /*
  13.  f[j] 之前的  dist(x,p)^j
  14.  ft[j] 当前的 dist(x,p)^j
  15.  S[p] += ∑C(K,i) * a^{K-i} * b^i  (0<=i<=K)
  16.  O(lognK)
  17.  */
  18.  
  19.  int n,K,totE;
  20.  int g[N],f[M],siz[N],h[N],fa[N],dfsn[N],S[N],d[N];
  21.  int C[M][M];
  22.  bool v[N],flag[N];
  23.  queue<int> q;
  24.  
  25.  int add(int a,int b){
  26.      if(a+b>=mod) return a+b-mod;
  27.      return a+b;
  28.  }
  29.  
  30.  int mul(int a,int b){
  31.      return a*b%mod;
  32.  }
  33.  
  34.  struct edge{
  35.      int x,to;
  36.  }E[N<<];
  37.  
  38.  void ade(int x,int y){
  39.      E[++totE]=(edge){y,g[x]}; g[x]=totE;
  40.  }
  41.  
  42.  int qpow(int x,int n){
  43.      int ans=;
  44.      for(;n;n>>=,x=mul(x,x))
  45.          if(n&) ans=mul(ans,x);
  46.      return ans;
  47.  }
  48.  
  49.  int Root(int x){
  50.      dfsn[]=;
  51.      q.push(x); fa[x]=;
  52.      flag[x]=;
  53.      while(!q.empty()){
  54.          int x=q.front(); q.pop();
  55.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  56.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  57.              if(!v[p] && !flag[p]){
  58.                  fa[p]=x;
  59.                  flag[p]=;
  60.                  q.push(p);
  61.              }
  62.      }
  63.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  64.          siz[dfsn[i]]=;
  65.          h[dfsn[i]]=;
  66.          flag[dfsn[i]]=;
  67.      }
  68.      int root=;
  69.      for(int i=dfsn[];i>=;i--){
  70.          int x=dfsn[i];
  71.          if(fa[x]){
  72.              siz[fa[x]]+=siz[x];
  73.              h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
  74.          }
  75.          h[x]=max(h[x],dfsn[]-siz[x]);
  76.          if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
  77.      }
  78.      return root;
  79.  }
  80.  
  81.  void bfs(int x){
  82.      dfsn[]=; d[x]=;
  83.      q.push(x); flag[x]=;
  84.      while(!q.empty()){
  85.          int x=q.front(); q.pop();
  86.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  87.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  88.              if(!v[p] && !flag[p]){
  89.                  d[p]=d[x]+;
  90.                  flag[p]=;
  91.                  q.push(p);
  92.              }
  93.      }
  94.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  95.          int tmp=;
  96.          for(int j=;j<=K;j++){
  97.              f[j]=add(f[j],tmp);
  98.              tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
  99.          }
  100.          flag[dfsn[i]]=;
  101.      }
  102.  }
  103.  
  104.  int power[M];
  105.  
  106.  void solve(int rt){
  107.      dfsn[]=; d[rt]=;
  108.      q.push(rt); flag[rt]=;
  109.      while(!q.empty()){
  110.          int x=q.front(); q.pop();
  111.          dfsn[++dfsn[]]=x;
  112.          for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  113.              if(!v[p] && !flag[p]){
  114.                  d[p]=d[x]+;
  115.                  flag[p]=;
  116.                  q.push(p);
  117.              }
  118.      }
  119.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  120.          int tmp=;
  121.          for(int j=;j<=K;j++){
  122.              f[j]=(f[j]-tmp+mod)%mod;
  123.              tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
  124.          }
  125.      }
  126.  //    printf("son : %d\n",rt);
  127.  //    for(int i=0;i<=K;i++){
  128.  //        printf("%d%c",f[i],i==K?'\n':' ');
  129.  //    }
  130.      for(int t=;t<=dfsn[];t++){
  131.          int x=dfsn[t];
  132.          flag[x]=;
  133.          power[]=;
  134.          for(int i=;i<=K;i++) power[i]=mul(power[i-],d[x]);
  135.          for(int i=;i<=K;i++){
  136.          //    printf("addto %d = %d\n",x,mul(C[K][i], mul(f[K-i],power[i])));
  137.              S[x] = add(S[x], mul(C[K][i], mul(f[K-i],power[i])));
  138.          }
  139.          S[x]=add(S[x],power[K]);
  140.      }
  141.  //    S[x]=add(S[x],power[K]);
  142.      for(int i=;i<=dfsn[];i++){
  143.          int tmp=;
  144.          for(int j=;j<=K;j++){
  145.              f[j]=add(f[j],tmp);
  146.              tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
  147.          }
  148.      }
  149.  }
  150.  //S[p] += ∑C(K,i) * a^{K-i} * b^i  (0<=i<=K)
  151.  void DC(int x){
  152.      v[x]=;
  153.  //    printf("node : %d\n",x);
  154.  //    for(int i=1;i<=dfsn[0];i++)
  155.  //        printf("%d%c",dfsn[i],i==dfsn[0]?'\n':' ');
  156.      for(int i=;i<=K;i++) f[i]=;
  157.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  158.          if(!v[p]) bfs(p);
  159.  //    printf("before\n");
  160.  //    for(int i=0;i<=K;i++) printf("%d%c",f[i],i==K?'\n':' ');
  161.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  162.          if(!v[p]) solve(p);
  163.      S[x]=add(S[x],f[K]);
  164.  //    printf("base = %d\n",f[K]);
  165.      for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
  166.          if(!v[p]) DC(Root(p));
  167.  }
  168.  
  169.  int main(){
  170.      freopen("civilization.in","r",stdin);
  171.      freopen("civilization.out","w",stdout);
  172.      scanf("%d%d",&n,&K);
  173.      C[][]=;
  174.      for(int i=;i<=K;i++){
  175.          C[i][]=;
  176.          for(int j=;j<=i;j++)
  177.              C[i][j]=add(C[i-][j-],C[i-][j]);
  178.      }
  179.      int L,now,A,B,Q,tmp;
  180.      scanf("%d%d%d%d%d",&L,&now,&A,&B,&Q);
  181.      for(int i=,x,y;i<n;i++){
  182.          now=(now*A+B)%Q;
  183.          tmp=(i<L)? i:L;
  184.          x=i-now%tmp;
  185.          y=i+;
  186.          ade(x,y);
  187.          ade(y,x);
  188.      }
  189.      DC(Root());
  190.      for(int i=;i<=n;i++){
  191.          printf("%d\n",S[i]);
  192.      }
  193.      return ;
  194.  }

总结完了点分治，NOI必胜。

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