二分图最大匹配初探 By cellur925

一、什么是二分图

首先它需要是一张无向图。

之后它需要同时满足两个条件：①它的N个点被分为两个集合，且这两个集合交集为空；②同一集合内的点之间没有边相连。

二、无向图是否为二分图的判定

引理：无向图是二分图当且仅当图中不存在为奇环。（证明不会略）

方法：基于染色法。如把当前点染为黑色，尝试把与它相邻的点染成白色。若发现和他相邻的点已被染色还不是白色，证明存在奇环，则不是二分图

实现：可用BFS，也可用DFS，复杂度O（N+M）。

 bool check(int w)
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     queue<int>q;
     for(int k=;k<=n;k++)
         if(!vis[k])
         {
             q.push(k);vis[k]=;
             while(!q.empty())
                 {
                     int x=q.front();
                     q.pop();
                     for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
                     if(edge[i].val>=w)
                     {
                         int y=edge[i].to;
                         if(!vis[y]) vis[y]=-vis[x],q.push(y);
                         else if(vis[y]==vis[x]) return false;
                         }
                 }
         }
     return true;
 }

例题：关押罪犯（丢链接跑）

三、二分图最大匹配

*一些概念：

　　图的一组匹配：边集。满足“任意两条边都没有公共端点”。

　　最大匹配：含边数最多的一组匹配。

匹配算法：匈牙利算法（增广路算法/搞对象算法）

（注：增广路这部分不是很懂qwq，鉴于学长的建议等，就先把算法的实现记下了qwq，如果我能苟到省选就再学一遍qwq）

 bool dfs(int x)
 {
     for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
     {
         int y=edge[i].to;
         if(!vis[y])
         {
             vis[y]=;
             if(!match[y]||dfs(match[y]))
             {
                 match[y]=x;
                 return ;
             }
         }
     }
     return ;
 }

主程序

     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         memset(vis,,sizeof(vis));
         if(dfs(i)) ans++;
     }

例题1 完美的牛栏 最大匹配裸题

例题2 [ZJOI2009]假期的宿舍   题解链接

******Update：今天写板的时候发现dfs的时候没写vis[x]=1，成功爆掉10-18