P6672-[清华集训2016]你的生命已如风中残烛【结论】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6672

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题目大意

长度为\(m\)的序列\(a\)，有\(n\)个数字不是\(0\)，其他\(m-n\)个是\(0\)。要求重排后有多少方案满足

\[\forall x,\sum_{i=1}^xa_i\geq i
\]

其中\(m=\sum_{i=1}^{n}a_i\)

\(1\leq n\leq 40,1\leq a_i\leq 10^5\)

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解题思路

具体数学P301页有一个\(Reney\)引理（虽然我还没看到）：

假设一个整数序列何为\(1\)，那么它的所有循环位移中有且仅有一个满足所有的前缀和为\(+1\)

然后考虑这题，都减去一的话就是要求都为非负了，而且所有数的和为\(0\)。

怎么转换成上面那种情况，加一个进去\(1\)的话不是很行，因为有很多正数所以我们不能保证这个\(1\)排在最前面。

反着考虑，把所有数取反再加一个\(1\)的话就可以了，因为这样正数就只有\(1\)了。

所以的话它的圆排列个数就是\(m!\)个了，但是多了一个\(-1\)我们要减去这个\(-1\)的影响，其实就是多塞一个\(-1\)进去的话，就是多了\(m-n+1\)个了。所以答案就是

\[\frac{m!}{m-n+1}
\]

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=998244353;
ll n,m,ans;
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x;scanf("%lld",&x);
		m+=x;
	}
	ans=1;
	for(ll i=1;i<=m;i++)ans=ans*i%P;
	printf("%lld\n",ans*power(m-n+1,P-2)%P);
	return 0;
}