Codeforces 772D - Varying Kibibits（高维差分+二项式定理维护 k 次方和）

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首先很容易注意到一件事，那就是对于所有 \(f(S)\) 可能成为 \(x\) 的集合 \(S\)，必定有 \(\forall y\in S\)，\(x\) 的每一位都 \(\le y\) 的对应位，于是我们考虑设 \(h(x)\) 表示所有满足 \(x\) 的对应位都小于 \(f(S)\) 的对应位的 \(S\) 的贡献之和，显然我们求出 \(h(x)\) 之后，可以把 \(0\sim 999999\) 中的数都看作一个拥有六个维度，每个维度中的数都 \(\in[0,9]\) 的元素，然后仿照二进制下的高维差分跑一遍高维差分即可。

接下来考虑怎样求出 \(h(x)\)，下记 \([x\subseteq y]\) 表示 \(x\) 是否每一位都 \(\le y\) 的对应位，那显然根据之前的定义有 \(h(x)=\sum\limits_{S\subseteq T}[\forall y\in S,x\subseteq y](\sum\limits_{y\in S}y)^2\)，这里面带个平方，可能不是特别显然，我们考虑一个简单些的问题，那就是假设每个集合 \(S\) 的贡献都是 \(1\) 而不是 \((\sum\limits_{y\in S}y)^2\)，那我们只需求出 \(c(x)=\sum\limits_{y\in T}[x\subseteq y]\)，那么显然就有 \(h(x)=2^{c(x)}\)。回到原题，注意到我们高维前缀和的实质是合并两个集合 \(S,T\) 的贡献，也就是倘若我们已经知道了 \(S\) 的贡献和 \(T\) 的贡献，怎样支持快速求出 \(S\cup T\) 的贡献。我们如果记 \(st(x)=\{y|y\in T,x\subseteq y\}\)，那么 \(h(x)=\sum\limits_{S\subset st(x)}(\sum\limits_{y\in S}y)^2\)。并且此题还带个平方，做过 P6144 [USACO20FEB]Help Yourself P 的同学应该都知道，碰到这类高次方求和的问题，我们都可用二项式定理将其拆成若干个低次方的和，然后将它们一一合并即可。具体来说，根据二项式定理初一课内有 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)，故我们对于每个集合 \(S\) 维护零次方和、一次方和和二次方和，即 \(S_0=\sum\limits_{S'\subseteq S}1,S_1=\sum\limits_{S'\subseteq S}\sum\limits_{x\in S'}x,S_2=\sum\limits_{S'\subseteq S}(\sum\limits_{x\in S'}x)^2\)，那么当合并两个集合 \(S,T\) 时，就有：

• \((S\cup T)_0=\sum\limits_{U\subseteq(S\cup T)}1=\sum\limits_{U\subseteq S,V\subseteq T}1=\sum\limits_{U\subseteq S}\sum\limits_{V\subseteq T}1=S_0T_0\)
• \[\begin{aligned}(S\cup T)_1&=\sum\limits_{U\subseteq(S\cup T)}\sum\limits_{x\in U}x=\sum\limits_{U\subseteq S,V\subseteq T}(\sum\limits_{x\in U}x+\sum\limits_{x\in V}x)\\&=\sum\limits_{U\subseteq S}\sum\limits_{V\subseteq T}(\sum\limits_{x\in U}x+\sum\limits_{x\in V}x)\\&=\sum\limits_{U\subseteq S}\sum\limits_{x\in U}x·\sum\limits_{V\subseteq T}1+\sum\limits_{V\subseteq T}\sum\limits_{x\in V}x·\sum\limits_{U\subseteq S}1\\&=S_1T_0+S_0T_0\end{aligned}
  \]
• \[\begin{aligned}(S\cup T)_2&=\sum\limits_{U\subseteq(S\cup T)}(\sum\limits_{x\in U}x)^2=\sum\limits_{U\subseteq S,V\subseteq T}(\sum\limits_{x\in U}x+\sum\limits_{x\in V}x)^2\\&=\sum\limits_{U\subseteq S}\sum\limits_{V\subseteq T}((\sum\limits_{x\in U}x)^2+(\sum\limits_{x\in V}x)^2+2\sum\limits_{x\in U}x\sum\limits_{x\in V}x)\\&=\sum\limits_{U\subseteq S}(\sum\limits_{x\in U}x)^2·\sum\limits_{V\subseteq T}1+\sum\limits_{V\subseteq T}(\sum\limits_{x\in V}x)^2·\sum\limits_{U\subseteq S}1+2\sum\limits_{U\subseteq S}\sum\limits_{x\in U}x·\sum\limits_{V\subseteq T}\sum\limits_{x\in V}x\\&=S_2T_0+S_0T_2+2S_1T_1\end{aligned}
  \]

高维前缀和维护下即可，最好开个结构体，时间复杂度 \(6\times 999999\)。

老缝合怪了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=1e6;
const int MOD=1e9+7;
int n,pw[MAXN+5],ret[MAXN+5];
struct data{
	int sum0,sum1,sum2;
	data(){sum0=sum1=sum2=0;}
	data(int x){sum0=1;sum1=x;sum2=1ll*x*x%MOD;}
	data(int _sum0,int _sum1,int _sum2):sum0(_sum0),sum1(_sum1),sum2(_sum2){}
	data operator +(const data &rhs){
		return data(
		sum0+rhs.sum0,
		(1ll*sum1*pw[rhs.sum0]+1ll*pw[sum0]*rhs.sum1)%MOD,
		(1ll*sum2*pw[rhs.sum0]%MOD+2ll*sum1*rhs.sum1+1ll*pw[sum0]*rhs.sum2)%MOD);
	}
} f[MAXN+5];
int main(){
	scanf("%d",&n);pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=2ll*pw[i-1]%MOD;
	for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),f[x]=f[x]+data(x);
	int cur=1;
	for(int i=0;i<=5;i++){
		for(int j=MAXN-1;~j;j--){
			if((j/cur)%10!=9) f[j]=f[j]+f[j+cur];
		}
		cur=cur*10;
	}
	for(int i=0;i<MAXN;i++) ret[i]=f[i].sum2;
	cur=1;
	for(int i=0;i<=5;i++){
		for(int j=0;j<MAXN;j++){
			if((j/cur)%10!=9) ret[j]=(ret[j]-ret[j+cur]+MOD)%MOD;
		}
		cur=cur*10;
	} ll ans=0;
	for(int j=0;j<MAXN;j++) ans^=1ll*j*ret[j];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}