拦截导弹(CDQ分治,DP)
很好的题,值得细细说,(果然又是个假期望).......
首先我们提取信息,显然这是个三维偏序问题
用简单的DP式子表示需要满足
f[i]=max(f[1--j]+1)(v[j]<v[i],h[j]<h[i],j<i)
那么我们发现这样可以愉快的CDQ,方案数用g数组表示,
在树状数组中注意维护就好
void add(int x,int kx,double kxx)
{
for(int i=x;i<=h_tot;i+=lowbit(i))
{
if(kx==c[i])
{
c2[i]+=kxx;
}
else if(kx>c[i])
{
c2[i]=kxx;c[i]=kx;
}
}
}
(注意这里+的方案数,是当前增加的值的方案数)
这样就结束了????
在这里才发现了CDQ优化DP的方法有些不同
我们发现普通的CDQ是将子区间处理完后,才会处理更大的区间
然而这里有一些不同的是,我们并不能一个一个小区间的处理
例如一串数 1 2 3 4 5 6
如果我们先处理左区间1-3在处理右区间4-6,在处理最后
我们发现可能的结果是1-3先更新4,5,
然后4,5更新6,显然这样是满足DP规律的
我们不妨将其看作中序遍历,先左后中后右,这样保证了正确性QAQ
注意:
这样就不能像原来一样保证序列的有序,这样我们牺牲时间
每次处理新区间时,将左右两区间按第二关键字排序一遍
然后处理完后早将这个的大区间按第一关键字排回,这样保证有序
(原来区间从下向上第一关键字当然有序,这时先大区间后小区间就要重新排了)
还有我们要两次扫,因为假设是1-n搜表示以i结尾的最大不上升序列长度
然而我们的i可能卡在中间,那么我们把区间倒转,再将每个a[i]变值(原来小的变成大的),然后只要打一遍CDQ就好了
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<string>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<vector>
7 #include<map>
8 #include<cstring>
9 #define MAXN 510001
10 #define int long long
11 using namespace std;
12 struct node{int v,h,id;}e[MAXN];
13 int lowbit(int x){return x&(-x);}
14 bool cmp(const node &a,const node &b) {return a.id<b.id;}
15 int h_tot,v_tot;
16 int c[MAXN];
17 double c2[MAXN];
18 int dp[MAXN][3];
19 double g[MAXN][3];
20 int v_old[MAXN],h_old[MAXN];
21 int n;int maxn=0;
22 double geshu=0.0;
23 double ans[MAXN];
24 void add(int x,int kx,double kxx)
25 {
26 for(int i=x;i<=h_tot;i+=lowbit(i))
27 {
28 if(kx==c[i])
29 {
30 c2[i]+=kxx;
31 }
32 else if(kx>c[i])
33 {
34 c2[i]=kxx;c[i]=kx;
35 }
36 }
37 }
38 int query(int x)
39 {
40 int anss=0;
41 for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
42 {
43 if(c[i]>anss)
44 {
45 geshu=c2[i];anss=c[i];
46 }
47 else if(c[i]==anss)
48 {
49 geshu+=c2[i];
50 }
51 }
52 return anss;
53 }
54 void clear(int x)
55 {
56 for(int i=x;i<=h_tot;i+=lowbit(i)){c[i]=0;c2[i]=0.0;}
57 }
58 bool cmp_v(const node &a,const node &b)
59 {
60 return (a.v==b.v)?((a.h==b.h)?(a.id<b.id):a.h<b.h):(a.v<b.v);
61 }
62 void work1(int l,int r,int mid,int me)
63 {
64 sort(e+l,e+r+1,cmp_v);
65 for(int i=l;i<=r;++i)
66 {
67 if(e[i].id<=mid)
68 {
69 add(e[i].h,dp[e[i].id][me],g[e[i].id][me]);
70 }
71 else
72 {
73 geshu=0;
74 int ttt=query(e[i].h)+1;
75 if(ttt>dp[e[i].id][me])
76 {
77 dp[e[i].id][me]=ttt;
78 g[e[i].id][me]=geshu;
79 }
80 else if(ttt==dp[e[i].id][me])
81 {
82 g[e[i].id][me]+=geshu;
83 }
84 }
85 }
86 for(int i=l;i<=r;++i)
87 {
88 if(e[i].id<=mid)
89 clear(e[i].h);
90 }
91 sort(e+l,e+r+1,cmp);
92 }
93 void solve(int l,int r,int me)
94 {
95 int mid=(l+r)>>1;
96 if(l==r)return ;
97 solve(l,mid,me);
98 work1(l,r,mid,me);
99 solve(mid+1,r,me);
100 return ;
101 }
102 signed main()
103 {
104 scanf("%lld",&n);
105 for(int i=1;i<=n;++i)
106 {
107 scanf("%lld%lld",&h_old[n-i+1],&v_old[n-i+1]);
108 e[n-i+1].h=h_old[n-i+1];
109 e[n-i+1].v=v_old[n-i+1];
110 e[n-i+1].id=n-i+1;
111 }
112 sort(h_old+1,h_old+n+1);
113 sort(v_old+1,v_old+n+1);
114 h_tot=unique(h_old+1,h_old+n+1)-h_old-1;
115 v_tot=unique(v_old+1,v_old+n+1)-v_old-1;
116 for(int i=1;i<=n;++i)
117 {
118 e[i].h=lower_bound(h_old+1,h_old+h_tot+1,e[i].h)-h_old;
119 e[i].v=lower_bound(v_old+1,v_old+v_tot+1,e[i].v)-v_old;
120 }
121 for(int i=1;i<=n;++i)
122 {
123 dp[e[i].id][1]=1;dp[e[i].id][2]=1;
124 g[e[i].id][1]=1;g[e[i].id][2]=1;
125 }
126 sort(e+1,e+n+1,cmp);
127 solve(1,n,1);
128 /*for(int i=1;i<=n;++i)
129 {
130 printf("dp[%lld][1]=%lld g[%lld][1]=%lld \n",i,dp[i][1],i,g[i][1]);
131 }*/
132 for(int i=1;i<=n;++i)
133 maxn=max(maxn,dp[i][1]);
134 reverse(e+1,e+n+1);
135 for(int i=1;i<=n;++i)
136 {
137 e[i].h=h_tot-e[i].h+1;
138 e[i].v=v_tot-e[i].v+1;
139 e[i].id=i;
140 }
141 solve(1,n,2);
142 double sum=0.0;
143 for(int i=1;i<=n;++i)
144 {
145 if(dp[i][1]==maxn)sum+=g[i][1];
146 }
147 for(int i=1;i<=n;++i)
148 {
149 if(dp[n-i+1][2]+dp[i][1]-1==maxn)
150 {
151 ans[i]=(g[i][1]*g[n-i+1][2])/sum;
152 //printf("ans[%lld]=%.4lf\n",i,ans[i]);
153 }
154 else ans[i]=0.0;
155 }
156 printf("%lld\n",maxn);
157 for(int i=n;i>=1;--i)
158 {
159 printf("%.5lf ",ans[i]);
160 }
161 cout<<endl;
162 }
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