题目

剑指 Offer 49. 丑数

思路1

  • 丑数是只包含 2、3、5 这三个质因子的数字,同时 1 也是丑数。要计算出 n 之前全部的丑数,就必须将 n 之前的每个丑数都乘以 2、3、5,选取出最小的那个数
  • 但是如果每计算一个丑数都要将之前重新遍历一遍,时间复杂度较高
  • 因此我们使用动态规划,创建一个dp数组,dp[i] 代表第 i + 1 个丑数,同时状态转移方程为:
    • \[\begin{cases} dp[a]×2>dp[i−1]≥dp[a−1]×2 \\ dp[b]×3>dp[i−1]≥dp[b−1]×3 \\ dp[c]×5>dp[i−1]≥dp[c−1]×5 \end{cases}
      \]
    • \[dp[i]=\begin{matrix} min(dp[a]×2,dp[b]×3,dp[c]×5) \end{matrix}
      \]
  • 先初始化第一个丑数 1,然后我们再使用三个变量 a、b、c,分别代表在数组中的位置,作用是 dp[a/b/c]2/3/5 得到丑数的结果,然后我们需要从这三个结果里面找到最小的那个丑数即为当前丑数,然后还要判断 dp[i]dp[a]x2、dp[b]x3、dp[c]x5是否存在相等,若相等则将对应索引 a b c 加 1

代码

class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
int[] dp = new int[n];
// 第一个丑数为1
dp[0] = 1;
// 从数组下标为0开始,a用于乘2,b用于乘3,c用于乘于5
int a = 0;
int b = 0;
int c = 0; for (int i = 1; i < n; i++) {
// 计算下标对应的丑数
int t1 = dp[a] * 2, t2 = dp[b] * 3, t3 = dp[c] * 5;
// 选取三个丑数中最小的一个
dp[i] = Math.min(Math.min(t1, t2), t3);
// 查看刚刚选取的丑数,如果相等,下标进一位
// 这里得用三个if,因为我们不需要重复数,只要计算过了,同样可以直接跳过
if (dp[i] == t1) {
a++;
}
if (dp[i] == t2) {
b++;
}
if (dp[i] == t3) {
c++;
}
} return dp[n-1];
}
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:\(O(N)\)
  • 空间复杂度:\(O(N)\)

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