【BZOJ】【1046】/【POJ】【3613】【USACO 2007 Nov】Cow Relays 奶牛接力跑

倍增+Floyd

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　　题解：http://www.cnblogs.com/lmnx/archive/2012/05/03/2481217.html

　　神题啊= =Floyd真是博大精深……

　　题目大意为求S到E，恰好经过N条边的最短路径（姑且称为路径吧，虽然好像已经不是了……）

　　总共只有大约200个点（很多点根本没走到，离散化一下即可）所以可以考虑Floyd算最短路。

引用下题解：

题目求i,j之间边数恰为N的最短路径（边可以重复走），我们知道线性代数中有：01邻接矩阵A的K次方C=A^K，C[i][j]表示i点到j点正好经过K条边的路径数。

而floyd则是每次使用一个中间点k去更新i,j之间的距离，那么更新成功表示i,j之间恰有一个点k时的最短路，如果做N次floyd那么不就是i,j之间借助N个点时的最短路了？

考虑当a[i][k]+a[k][j]<c[i][j]的时 候，c[i][j]=a[i][k]+a[k][j]，这样c[i][j]保存了i,j之间有一个点的最短路，第二次将c[i][j]拷贝回到a[i] [j]当中，并将c[i][j]重新置为INF，再做一次，则是在原来的基础上在i,j之间再用一个点k来松弛，这时候i,j之间实际上已经是两个点了， 之后重复这么做就好了，可以利用二进制加速

　　好神的……用的是类似矩阵乘法快速幂的思想？以及floyd的性质= =

我掉过的坑：保存当前路径长度的dis数组要有dis[i][i]=0,但保存图的map数组不可以初始化为map[i][i]=0，因为没有这条边……如果加了，倍增乘完以后就不对了= =，走两步走过的距离可能会变成原地不动+走一步，这是不科学的……

 /**************************************************************
     Problem: 1706
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:192 ms
     Memory:2152 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1706
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 int n,m,s,t,cnt,x[N],y[N],len[N],c[N];
 struct Matrix{
     int v[N][N];
     int* operator [] (int x) {return v[x];}
     Matrix(int x=){memset(v,x,sizeof v);}
 }map(0x3f),dis(0x3f),ans(0x3f),tmp(0x3f);

 void floyd(Matrix &a,Matrix &b,Matrix &c){
     F(k,,cnt) F(i,,cnt) F(j,,cnt)
         if (c[i][j]>a[i][k]+b[k][j])
             c[i][j]=a[i][k]+b[k][j];
 }
 void solve(int b){
     F(i,,cnt) dis[i][i]=;
     for(;b;b>>=){
         if (b&){
             ans=Matrix(0x3f);
             floyd(map,dis,ans);
             dis=ans;
         }
         floyd(map,map,tmp);
         map=tmp;
         tmp=Matrix(0x3f);
     }
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("1706.in","r",stdin);
     freopen("1706.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint(); m=getint(); s=getint(); t=getint();
     F(i,,m){
         len[i]=getint(); x[i]=getint(); y[i]=getint();
         c[++cnt]=x[i]; c[++cnt]=y[i];
     }
     sort(c+,c+cnt+);
     cnt=unique(c+,c+cnt+)-c-;
     F(i,,m){
         x[i]=lower_bound(c+,c+cnt+,x[i])-c;
         y[i]=lower_bound(c+,c+cnt+,y[i])-c;
         map[x[i]][y[i]]=map[y[i]][x[i]]=min(map[x[i]][y[i]],len[i]);
     }
     s=lower_bound(c+,c+cnt+,s)-c;
     t=lower_bound(c+,c+cnt+,t)-c;
     solve(n);
     printf("%d\n",ans[s][t]);
     return ;
 }

1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

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Description

FJ
的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点
自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点
I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <=
1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <=
1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。
为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺
次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。
你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

10

HINT

Source

Gold

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