[LOJ 2146][BZOJ 4873][Shoi2017]寿司餐厅

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题意

比较复杂放LOJ题面好了qaq...

Kiana 最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。

每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供 \(n\) 种寿司，第 \(i\) 种寿司有一个代号 \(a_i\) 和美味度 \(d_{i, i}\)，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana 也可以无限次取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即 Kiana 可以一次取走第 \(1, 2\) 种寿司各一份，也可以一次取走第 \(2, 3\) 种寿司各一份，但不可以一次取走第 \(1, 3\) 种寿司。

由于餐厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana 定义了一个综合美味度 \(d_{i, j} \ (i < j)\)，表示在一次取的寿司中，如果包含了餐厅提供的从第 \(i\) 份到第 \(j\) 份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被累加，比如若 Kiana 一次取走了第 \(1, 2, 3\) 种寿司各一份，除了 \(d_{1, 3}\) 以外，\(d_{1, 2}, d_{2, 3}\) 也会被累加进总美味度中。

神奇的是，Kiana 的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在计入 Kiana 的总美味度时都只会被累加一次。比如，若 Kiana 某一次取走了第 \(1, 2\) 种寿司各一份，另一次取走了第 \(2, 3\) 种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为 \(d_{1, 1} + d_{2, 2} + d_{3, 3} + d_{1, 2} + d_{2, 3}\)，其中 \(d_{2, 2}\) 只会计算一次。

奇怪的是，这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果 Kiana 一共吃过了 \(c \ (c > 0)\) 种代号为 \(x\) 的寿司，则她需要为这些寿司付出 \(mx^2 + cx\) 元钱，其中 \(m\) 是餐厅给出的一个常数。

现在 Kiana 想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

\(n\le 100,a_i\le 1000,m\in\{0,1\}\)

题解

好像是个...裸的最大权闭合子图...最大权闭合子图都不知道果然是学了假的网络流

显然选了一个区间后所有子区间也要选, 选了一个 \(d_{i,i}\) 后就要选花费点. 花费点可以拆成两部分, 一部分是 \(cx\) 直接从 \(d_{i,i}\) 里减去就可以了, 另一部分是 \(mx^2\) 需要对于每一个寿司代号都新建一个点来表达.

然后它们之间的制约关系表达成有向边, 求最大权闭合子图就可以了.

果然我还是太菜了...

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN=1e2+10;
const int MAXV=1e4+10;
const int MAXE=1e6+10;
const int INF=0x7FFFFFFF;

struct Edge{
	int from;
	int to;
	int flow;
	Edge* rev;
	Edge* next;
};
Edge E[MAXE];
Edge* head[MAXV];
Edge* cur[MAXV];
Edge* top=E;

int n;
int m;
int a[MAXN];
bool vis[1010];
int depth[MAXV];
int id[MAXN][MAXN];
int val[MAXN][MAXN];

bool BFS(int,int);
int Dinic(int,int);
int DFS(int,int,int);
void Insert(int,int,int);

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",a+i);
	int s=0,t=1;
	int cnt=1,sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			scanf("%d",val[i]+j);
			id[i][j]=++cnt;
			if(i==j)
				val[i][j]-=a[i];
			if(val[i][j]>=0){
				sum+=val[i][j];
				Insert(s,id[i][j],val[i][j]);
			}
			else
				Insert(id[i][j],t,-val[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			Insert(id[i][j],id[i+1][j],INF);
			Insert(id[i][j],id[i][j-1],INF);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		Insert(id[i][i],cnt+a[i],INF);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[a[i]]){
			vis[a[i]]=true;
			Insert(cnt+a[i],t,m*a[i]*a[i]);
		}
	}
	printf("%d\n",sum-Dinic(s,t));
	return 0;
}

int Dinic(int s,int t){
	int ans=0;
	while(BFS(s,t))
		ans+=DFS(s,INF,t);
	return ans;
}

bool BFS(int s,int t){
	memset(depth,0,sizeof(depth));
	std::queue<int> q;
	q.push(s);
	depth[s]=1;
	cur[s]=head[s];
	while(!q.empty()){
		s=q.front();
		q.pop();
		for(Edge* i=head[s];i!=NULL;i=i->next){
			if(i->flow>0&&depth[i->to]==0){
				depth[i->to]=depth[s]+1;
				cur[i->to]=head[i->to];
				if(i->to==t)
					return true;
				q.push(i->to);
			}
		}
	}
	return false;
}

int DFS(int s,int flow,int t){
	if(s==t||flow<=0)
		return flow;
	int rest=flow;
	for(Edge*& i=cur[s];i!=NULL;i=i->next){
		if(i->flow>0&&depth[i->to]==depth[s]+1){
			int tmp=DFS(i->to,std::min(rest,i->flow),t);
			if(tmp<=0)
				depth[i->to]=0;
			rest-=tmp;
			i->flow-=tmp;
			i->rev->flow+=tmp;
			if(rest<=0)
				break;
		}
	}
	return flow-rest;
}

inline void Insert(int from,int to,int flow){
	top->from=from;
	top->to=to;
	top->flow=flow;
	top->rev=top+1;
	top->next=head[from];
	head[from]=top++;

	top->from=to;
	top->to=from;
	top->flow=0;
	top->rev=top-1;
	top->next=head[to];
	head[to]=top++;
}