最长公共子串(LCS：Longest Common Substring)

最长公共子串(LCS：Longest Common Substring)是一个非常经典的面试题目，本人在乐视二面中被面试官问过，惨败在该题目中。

什么是最长公共子串

最长公共子串问题的基本表述为：给定两个字符串，求出它们之间最长的相同子字符串的长度。

最直接的解法就是暴力解法：遍历所有子字符串，比较它们是否相同，然后去的相同子串中最长的那个。对于长度为n的字符串，它子串的数量为n(n-1)/2，假如两个字符串长度均为n，那么该解法的复杂度为O(n^4)，想想并不是取出所有的子串，那么该解法的复杂度为O(n^3)。

复杂度太高，可以进行优化，可以利用动态规划法（有重叠的子问题）。

暴力解法

对于该问题，直接的思路就是要什么就找什么，要子串就要子串，要相同就比较每个字符，要长度就计算长度，所以很容易写出下列代码：

 //暴力
     public static int longestCommonSubstring(String s1, String s2){
         char[] str1 = s1.toCharArray();
         char[] str2 = s2.toCharArray();
         int str1_length = str1.length;
         int str2_length = str2.length;
         if(str1_length == 0 || str2_length == 0)
             return 0;
         //最大长度
         int maxLength = 0;
         int compareNum = 0;
         int start1 = -1;
         int start2 = -1;
         for(int i=0;i<str1_length;i++){
             for(int j=0;j<str2_length;j++){
                 int m = i;
                 int n = j;
                 //相同子串长度
                 int length = 0;
                 while(m < str1_length && n < str2_length){
                     compareNum++;
                     if(str1[m] != str2[n])
                         break;
                     m++;
                     n++;
                     length++;
                 }
                 if(length > maxLength){
                     maxLength = length;
                     start1 = i + 1;
                     start2 = j + 1;
                 }

             }
         }
         System.out.println("比较次数" + compareNum + "，s1起始位置：" + start1 + "，s2起始位置：" + start2);
         return maxLength;
     }

该思路以字符串中每个字符作为子串的开始，判断以此开始的子串的相同字符所能达到的最大长度。从上述代码来看，复杂度是O(n^2)，但是在比较两个相同开端的子串的效率不是O(1),是O(n)，所以上述算法的复杂度为O(n^3)。

动态规划-空间换时间

上述解法回答面试官，面试官肯定会让你优化！

我们发现，在相同开端的子串的比较中，有很多事重复动作。比如在比较以i,j分别为起点的子串时，有可能会进行i+1和j+1以及i+2和j+2位置的字符的比较。而以i+1,j+1分别为起点的子串时，这些字符又被比较了一次。也就说该问题有非常相似的子问题，而子问题之间又有重叠，这就给动态规划法创造了契机。

暴力解法是以子串开端开始寻找，现在换个思路，以相同子串的字符结尾来利用动态规划法。

假设两个字符串分别为A、B，A[i]和B[j]分别表示其第i和j个字符，再假设K[i,j]表示以A[i]和B[j]结尾的子串的最大长度。那么A，B分别再向下走一个字符，我们可以推断出K[i+1,j+1]与K[i,j]之间的关系，如果A[i] == B[j]，那么K[i+1,j+1] = K[i,j] + 1；否则K[i+1,j+1] =0。而如果A[i+1]和B[j+1]相同，那么就只要在以A[i]和B[j]结尾的最长相同子串之后分别添上这两个字符即可，这样就可以让长度增加一位，综上所述，就是K[i+1,j+1] = (A[i] == B[j] ? K[i,j] + 1 : 0)的关系。

由上述K[i+1,j+1] = (A[i] == B[j] ? K[i,j] + 1 : 0)的关系，想到了使用二维数组来存储两个字符串之间的相同子串关系，因为K[i+1,j+1] = (A[i+1] == B[j+1] ? K[i,j] + 1 : 0)关系，只计算二维数据的最上列和最左列数值即可，其他数值通过K[i+1,j+1] = (A[i+1] == B[j+1] ? K[i,j] + 1 : 0)可得。如下图所示：

代码如下：

 //优化
     public static int longestCommonSubstring1(String s1, String s2){
         if(s1.length() == 0 || s2.length() == 0)
             return 0;
         char[] str1 = s1.toCharArray();
         char[] str2 = s2.toCharArray();
         int start1 = -1;
         int start2 = -1;
         int[][] results = new int[str2.length][str1.length];
         //最大长度
         int maxLength = 0;
         int compareNum = 0;
         for(int i=0;i<str1.length;i++){
             results[0][i] = (str2[0] == str1[i] ? 1 : 0);
             compareNum++;
             for(int j=1;j<str2.length;j++){
                 results[j][0] = (str1[0] == str2[j] ? 1 : 0);
                 if(i>0 && j>0){
                     if(str1[i] == str2[j]){
                         results[j][i] = results[j-1][i-1] + 1;
                         compareNum++;
                     }
                 }
                 if(maxLength < results[j][i]){
                     maxLength = results[j][i];
                     start1 = i - maxLength + 2;
                     start2 = j - maxLength + 2;
                 }
             }
         }
         System.out.println("比较次数" + (compareNum+str2.length) + "，s1起始位置：" + start1 + "，s2起始位置：" + start2);
         return maxLength;
     }

用二维数组保存计算结果，避免了重复计算，运算的时间复杂度降低到了O(n^2)。