【刷题】BZOJ 3495 PA2010 Riddle

Description

有n个城镇被分成了k个郡，有m条连接城镇的无向边。

要求给每个郡选择一个城镇作为首都，满足每条边至少有一个端点是首都。

Input

第一行有三个整数，城镇数n（1<=n<=10^{6），边数m（0<=m<=10}6），郡数k（1<=k<=n）。

接下来m行，每行有两个整数ai和bi（ai≠bi），表示有一条无向边连接城镇ai和bi。

接下来k行，第j行以一个整数wj开头，后面是wj个整数，表示第j个郡包含的城镇。

Output

若有解输出TAK，否则输出NIE。

Sample Input

6 5 2

1 2

3 1

1 4

5 2

6 2

3 3 4 2

3 1 6 5

Sample Output

TAK

Solution

边的要求就是2-SAT的典型限制

额外需要考虑的就是一个国家只能选一个首都的限制，如果直接连的话，边的复杂度是 \(O(n^2)\) 的，承受不了，考虑怎么优化

这个优化也很神奇，叫做前缀后缀连边优化

除了原来的 \(n\) 个点，再建 \(n\) 个点。在一个国家里，如果 \(x\) 号点在第 \(j\) 个位置，即 \(a[j]=x\) ，那么多建的 \(x'\) 这个点代表的就是这个国家里的前 \(j\) 个点有没有选到的

于是就会出来几条限制

1. 如果 \(a[j]\) 选了，那么 \(a[j]'\) 肯定也选了；反之，如果 \(a[j]'\) 没选，那么 \(a[j]\) 肯定没选

2. 一个国家中，如果第 \(a[j]'\) 没选，那么 \(a[j-1]'\) 肯定也没选

3. 一个国家中，如果 \(a[j]'\) 选了，那么 \(a[j+1]'\) 肯定也选了

4. 一个国家中，如果 \(a[j]\) 选了，那么 \(a[j-1]'\) 肯定没选

5. 一个国家中，如果 \(a[j-1]'\) 选了，那么 \(a[j]\) 肯定没选

于是边数优化成 \(O(n)\) ，跑2-SAT就可以了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=4000000+10;
int n,m,k,a[MAXN],e,beg[MAXN],nex[MAXN<<1],to[MAXN<<1],Be[MAXN],DFN[MAXN],LOW[MAXN],Visit_Num,Stack[MAXN],Stack_Num,In_Stack[MAXN],cnt;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void insert(int x,int y)
{
	to[++e]=y;
	nex[e]=beg[x];
	beg[x]=e;
}
inline void Tarjan(int x)
{
	DFN[x]=LOW[x]=++Visit_Num;
	In_Stack[x]=1;
	Stack[++Stack_Num]=x;
	for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
		if(!DFN[to[i]])Tarjan(to[i]),chkmin(LOW[x],LOW[to[i]]);
		else if(In_Stack[to[i]]&&DFN[to[i]]<LOW[x])LOW[x]=DFN[to[i]];
	if(DFN[x]==LOW[x])
	{
		int temp;++cnt;
		do{
			temp=Stack[Stack_Num--];
			In_Stack[temp]=0;
			Be[temp]=cnt;
		}while(temp!=x);
	}
}
int main()
{
	read(n);read(m);read(k);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u,v;read(u);read(v);
		insert(u<<1,v<<1|1);insert(v<<1,u<<1|1);
	}
	for(register int i=1;i<=n;++i)insert(i<<1|1,(i+n)<<1|1),insert((i+n)<<1,i<<1);
	for(register int i=1;i<=k;++i)
	{
		int w;read(w);
		for(register int j=1;j<=w;++j)read(a[j]);
		for(register int j=2;j<=w;++j)
		{
			insert((a[j-1]+n)<<1|1,a[j]<<1);
			insert(a[j]<<1|1,(a[j-1]+n)<<1);
			insert((a[j]+n)<<1,(a[j-1]+n)<<1);
			insert((a[j-1]+n)<<1|1,(a[j]+n)<<1|1);
		}
	}
	for(register int i=2;i<=(n<<2|1);++i)
		if(!DFN[i])Tarjan(i);
	for(register int i=2;i<=(n<<2|1);i+=2)
		if(Be[i]==Be[i^1])
		{
			puts("NIE");
			return 0;
		}
	puts("TAK");
	return 0;
}