MT【166】青蛙跳

(2015浙江重点中学协作体一模) 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．

分析:
易知青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点，故青蛙的跳法只有下列两种：
(1)青跬跳3次到达D点，有ABCD，AFED 2种跳法；
(2)青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不能到达D，只能到达B或F，则共有AFEF，ABAF，AFAF，ABCB，ABAB，AFAB这6种跳法，随后2次的跳法各有4种，比如由F出发，则有FEF，FED，FAF，FAB，共4种，因此共有6×4＝24(种)．故共有24＋2＝26(种)．

解答:

青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(从A开始依次编号mod 2易得)．
青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1
规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．
前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有$2^3－2=6$种，后两个□中填号的方法有22种．
∴ 共有2+6×4=26种方法．