Bzoj3677:树形DP
首先我们知道这棵树的形态,一眼DP。
考虑蓝线的性质,显然蓝线在树上是连接连续三个节点的。
这样就有三种情况:连接 一个节点 的 某个孩子->本身->父亲 或者 一个孩子->本身->另一个孩子。
然后胡乱写一个DP,发现并不能过大样例。
因为这种想法定义是有反例的!
考虑下面的这棵树的连边方式,怎样生成连边方式是这样的一棵树?
显然是不可能做到的,因为下面的两个叶子中需要有两个根才行,然而我们只能有一个根。
也就是说,确定了根以后,我们的连边方式就只剩下了 一个节点 的 某个孩子->本身->父亲 这一种。
(显然只有使用且仅使用这一种方式能生成可行的树)。
我们令f[i][0/1]表示考虑节点i及节点i的子树,i是否为蓝边的中点,能获得的最大价值。
显然我们有:
f[i][0] = sigma( j : son[i] ) max( f[j][0] , f[j][1] + edge[i->j] ) ,
f[i][1] = sigma( j : son[i] ) max( f[i][0] - max( f[j][0] , f[j][1] + edge[i->j] ) + f[j][0] + edge[i->j] )。
这样我们就能枚举根然后O(n^2)暴力DP了。
仔细观察这个转移方程,显然我们可以换根。
我们设g[i][j][0/1]表示节点i不考虑孩子j的f[i][0/1]。
我们有:
g[i][j][0] = sigma( t : son[i] && t != j ) max( f[t][0] , f[t][1] + edge[i->t] ) ,
g[i][j][1] = sigma( t : son[i] && t != j ) max( g[i][j][0] - max( f[t][0] , f[t][1] + edge[i->t] ) + f[t][0] + edge[i->t] )。
显然有:
g[i][j][0] = f[i][0] - max( f[j][0] , f[j][1] + edge[i->j] )。
对于g[i][j][1],我们可以把后面的那一堆东西提出来,那是一个仅与变量t相关的表达式。我们维护这个表达式的前缀max和后缀max就好了。
换根的话,我们就把某个节点的父亲的g[i][j][0/1]当做j的一个孩子去处理就行了。
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=2e5+1e2;
const int inf=0x3f3f3f3f; int s[maxn],t[maxn<<],nxt[maxn<<],l[maxn<<];
vector<int> son[maxn],pef[maxn],suf[maxn],len[maxn];
int f[maxn][],ans; inline void addedge(int from,int to,int len) {
static int cnt = ;
t[++cnt] = to , l[cnt] = len ,
nxt[cnt] = s[from] , s[from] = cnt;
}
inline void dfs1(int pos,int fa) {
f[pos][] = , f[pos][] = -inf;
for(int at=s[pos];at;at=nxt[at]) if( t[at] != fa ) son[pos].push_back(t[at]) , len[pos].push_back(l[at]);
for(unsigned i=;i<son[pos].size();i++) {
dfs1(son[pos][i],pos) , f[pos][] += max( f[son[pos][i]][] , f[son[pos][i]][] + len[pos][i] );
pef[pos].push_back(f[son[pos][i]][]-max(f[son[pos][i]][],f[son[pos][i]][]+len[pos][i])+len[pos][i]) ,
suf[pos].push_back(f[son[pos][i]][]-max(f[son[pos][i]][],f[son[pos][i]][]+len[pos][i])+len[pos][i]) ;
}
for(unsigned i=;i<son[pos].size();i++) f[pos][] = max( f[pos][] , f[pos][] + pef[pos][i] );
for(unsigned i=;i<son[pos].size();i++) pef[pos][i] = max( pef[pos][i] , pef[pos][i-] );
for(int i=(signed)son[pos].size()-;i>=;i--) suf[pos][i] = max( suf[pos][i] , suf[pos][i+] );
}
inline void dfs2(int pos,int ffa0,int ffa1,int lfa) {
f[pos][] += max( ffa0 , ffa1 + lfa ) , f[pos][] += max( ffa0 , ffa1 + lfa ) , f[pos][] = max( f[pos][] , f[pos][] + ffa0 - max( ffa0 , ffa1 + lfa ) + lfa );
ans = max( ans , f[pos][] );
for(unsigned i=;i<son[pos].size();i++) {
int fnow0 = f[pos][] - max( f[son[pos][i]][] , f[son[pos][i]][] + len[pos][i] );
int delta = ffa0 - max( ffa0 , ffa1 + lfa ) + lfa;
if( i != ) delta = max( delta , pef[pos][i-] );
if( i != son[pos].size() - ) delta = max( delta , suf[pos][i+] );
dfs2(son[pos][i],fnow0,fnow0+delta,len[pos][i]);
}
} int main() {
static int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=,a,b,l;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&a,&b,&l) , addedge(a,b,l) , addedge(b,a,l);
dfs1(,-) , dfs2(,,-inf,-inf) , printf("%d\n",ans);
return ;
}
(换回了U2417H的我压行更加肆无忌惮了)
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