8.4 正睿暑期集训营 Day1

目录

• 2018.8.4 正睿暑期集训营 Day1
  • A 数对子
  • B 逆序对
  • C 盖房子
  • 考试代码
    • A
    • B
    • C

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2018.8.4 正睿暑期集训营 Day1

时间：4.5h(实际)

期望得分：30+50+30

实际得分：30+50+30(菜啊)

比赛链接

A 数对子

题目链接

\(Solution\)

　　考虑两个数异或怎么会得到1：\(0\oplus0=0，0\oplus1=1，1\oplus1=0\)，也就是同一位的两个1会抵消成0。那么令\(bit[x]\)表示\(x\)的二进制1的个数，如果计算奇偶性，\(bit[x\oplus y]\%2=(bit[x]+bit[y])\%2\)。因为如果有变成0的1也一定是两个一起变成0。那么如果令\(p_0\)表示区间\([l,r]\)中\(bit[i]\)为偶数的\(i\)的个数，\(p_1\)表示区间中\(bit[i]\)为奇数的\(i\)的个数，该区间的答案为\(p_0\times p_1\)。

　　计算\(p_0\)，可以数位DP。\(p_0[l,r]=p_0[r]-p_0[l-1]\)，考虑\([0,m]\)中的\(p_0\)怎么求。对于一个偶数\(x\)，\(bit[x]\)一定与\(bit[x+1]\)奇偶性相反。于是我们这样分组：\(01,23,45\ldots\)奇偶性是这样的：\(偶奇,奇偶,奇偶,偶奇\ldots\)可得：$$p_0[0,m]=\begin{cases}\frac{m+1}{2},& m为奇数\\frac{m}{2}+\left[bit[m]是奇数\right],& m为偶数\end{cases}$$

　　对于区间的处理，\(O(n^2)\)：把端点离散化，这样把所有区间分成了若干段小区间，每段区间是若干段小区间的并。这样每有一段区间，直接去找属于它的区间即可。如图：。

　　\(O(n\log n)\)：建一棵值域\(1\sim2^{32}-1\)的线段树，动态开点（能覆盖大区间就直接覆盖，否则递归新建左/右区间节点）。

　　root没初始化为0，本地大样例都可过。。OJ上RE，调了很长时间。。（我干什么都RE有时候还能正常输出我也很无奈啊）

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 400000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=100005*17;

char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Segment_Tree
{
	#define lson son[x][0]
	#define rson son[x][1]
	int tot,son[N][2];
	LL sum[N][2];
	bool cover[N];

	#define Query(l,r) (Calc(r)-Calc(l-1))
	#define Update(x) sum[x][0]=sum[lson][0]+sum[rson][0], sum[x][1]=sum[lson][1]+sum[rson][1]
	inline bool Check(LL x)
	{
		int res=0;
		for(; x; x>>=1) res+=x&1;
		return res&1;
	}
	inline LL Calc(LL x)
	{
		return (x>>1)+((x&1)||Check(x));//x&1?(x+1)>>1:(x>>1)+Check(x);
	}
	void Insert(int &x,LL l,LL r,LL L,LL R)
	{
		if(!x) x=++tot;
		if(cover[x]) return;
		if(L<=l && r<=R)
		{
			cover[x]=1;
			sum[x][1]=Query(l,r), sum[x][0]=r-l+1-sum[x][1];
			return;
		}
		LL m=l+r>>1;
		if(L<=m) Insert(lson,l,m,L,R);
		if(m<R) Insert(rson,m+1,r,L,R);
		Update(x);
		cover[x]=cover[x]||(cover[lson]&&cover[rson]);//!
	}
}T;

inline LL read()
{
	LL now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	int n=read(),root=0;//root初始化为0！！！
	for(LL l,lim=(1ll<<32)-1; n--; )
		l=read(), T.Insert(root,1,lim,l,read()), printf("%lld\n",T.sum[root][0]*T.sum[root][1]);

	return 0;
}

B 逆序对

题目链接

容易看出决策位置单调。可靠这个分治。

但是有很简单的堆的贪心写法，没看懂。。

C 盖房子

题目链接

考试代码

A

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
typedef unsigned int uint;
const int N=1e5+5;

int n,A[N];
uint L[N],R[N];
bool vis[1003];

inline uint read()
{
	uint now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline bool Check(uint x)
{
	int res=0;
	for(; x; x>>=1) res+=x&1;
	return res&1;
}
//void Make()
//{
//	int n=read();
//	for(int i=2; i<=n; ++i)
//		for(int j=i+1; j<=3*n; ++j) if(Check(i^j)) printf("%d^%d=%d is OK\n",i,j,i^j);
//}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);

//	Make();
	n=read();
	for(uint i=1,li,ri; i<=n; ++i)
	{
		li=L[i]=read(), ri=R[i]=read();

		memset(vis,0,sizeof vis);
		int cnt=0;
		for(int j=1; j<i; ++j)
			for(uint k=L[j],r=R[j]; k<=r; ++k)
				if(!vis[k]) A[++cnt]=k, vis[k]=1;
		for(uint j=li; j<=ri; ++j)
			if(!vis[j]) A[++cnt]=j, vis[j]=1;

		LL ans=0;
		for(int j=1; j<cnt; ++j)
			for(int k=j+1; k<=cnt; ++k)
				ans+=Check(A[j]^A[k]);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

B

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 400000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define Vec std::vector<int>
typedef long long LL;
const int N=2e5+5;

int n,cnt,B[N];
LL Ans;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct BIT
{
	#define lb(x) (x&-x)
	int n,val[N];
	inline void Clear()
	{
		memset(val,0,sizeof val);
	}
	inline void Add(int p,int v)
	{
		if(!p) return;
		for(; p<=n; p+=lb(p)) val[p]+=v;
	}
	inline LL Query(int p)
	{
		LL res=0;
		for(; p; p^=lb(p)) res+=val[p];
		return res;
	}
}T1,T2;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline LL Query(int p,int v)
{
	return p-T1.Query(v)+T2.Query(v);
}
inline int Check(int p,int x)
{
	LL r1=Query(p,x),r2=r1;
	int res=p,bef=p;
	while(p<cnt)
	{
		++p;
		if(B[p]<x) --r2;
		else if(B[p]>x) ++r2;
		if(r2<r1) r1=r2, res=p;
	}
	for(int i=bef+1; i<=res; ++i) T1.Add(B[i],1), T2.Add(B[i],-1);
	return Ans+=r1, res;
}
inline int Check2(int p,int x,int lim)
{
	LL r1=Query(p,x),r2=r1;
	int res=p,bef=p;
	while(p<lim)
	{
		++p;
		if(B[p]<x) --r2;
		else if(B[p]>x) ++r2;
		if(r2<r1) r1=r2, res=p;
	}
	for(int i=bef+1; i<=res; ++i) T1.Add(B[i],1), T2.Add(B[i],-1);
	return Ans+=r1, res;
}

int main()
{
//	freopen("B2.in","r",stdin);

	T1.n=T2.n=n=read(), cnt=n>>1;
	for(int i=1; i<=cnt; ++i) T2.Add(B[i]=read(),1);
	for(int i=1; i<=cnt; ++i) Ans+=i-1-T1.Query(B[i]), T1.Add(B[i],1);
	T1.Clear();
	if(n<=5000)
		for(int i=1,p=0; i<n; i+=2) p=Check(p,i);
	else
		for(int i=1,p=0,len=15000000/n; i<n; i+=2) p=Check2(p,i,std::min(i+len,cnt));
	printf("%lld\n",Ans);

	return 0;
}

C

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod (10007)
#define Mod(x) (x>=mod&&(x-=mod))
const int N=36;

int n,K,X[N],Y[N];
bool ban[N][N];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
namespace Subtask1
{
	int A[N];
	inline bool Ck1(int *a)
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(a[i]==i) return 1;
		return 0;
	}
	inline bool Ck2(int *a)
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(a[i]==n-i+1) return 1;
		return 0;
	}
	inline int Check(int *a)
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(ban[i][a[i]]) return 0;
		if(!Ck1(a)) return 0;
		if(!Ck2(a)) return 0;
		return 1;
	}
	inline bool End(int *a)
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(a[i]!=i) return 0;
		return 1;
	}
	void Main()
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=i;
		int res=0;
		do{
			res+=Check(A), std::next_permutation(A+1,A+1+n);
		}while(!End(A));
		printf("%d\n",res%mod);
	}
}
namespace Subtask2
{
	int Ans,fac[N];
	bool vis[N];
	void DFS(int x,int n,bool f1,bool f2)
	{
		if(x>n) {Ans+=(f1&&f2); return;}
		if(f1&&f2) {Ans+=fac[n-x+1], Ans>=mod&&(Ans-=mod); return;}
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			if(!vis[i]) vis[i]=1, DFS(x+1,n,f1||(x==i),f2||(x+i==n+1)), vis[i]=0;
	}
	void Main()
	{
		fac[0]=1;
		for(int i=1; i<=n; ++i)
		{
			fac[i]=fac[i-1]*i;
			while(fac[i]>=mod) fac[i]-=mod;
		}
		DFS(1,n,0,0);
		printf("%d\n",Ans%mod);
	}
}
namespace Subtask3
{
	int f[2][(1<<18)+3][2][2];
	void Main()
	{
		int lim=(1<<n)-1, now=1, las=0;
		f[0][0][0][0]=1;
		for(int i=0; i<n; ++i)
		{
			for(int s=0; s<=lim; ++s)
			{
				for(int j=0,ss; j<n; ++j)
				{
					if(s>>j&1) continue;
					if(ban[i+1][j+1]) continue;
					ss=s|(1<<j);
					f[now][ss][i==j][i+j==n-1]+=f[las][s][0][0], Mod(f[now][ss][i==j][i+j==n-1]);
					f[now][ss][i==j][1]+=f[las][s][0][1], Mod(f[now][ss][i==j][1]);
					f[now][ss][1][i+j==n-1]+=f[las][s][1][0], Mod(f[now][ss][1][i+j==n-1]);
					f[now][ss][1][1]+=f[las][s][1][1], Mod(f[now][ss][1][1]);
				}
			}
			now^=1, las^=1;
		}
		printf("%d\n",f[las][lim][1][1]);
	}
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);

	n=read(), K=read();
	for(int i=1; i<=K; ++i) ban[X[i]=read()][Y[i]=read()]=1;
	if(n<=10 && !K) return Subtask2::Main(),0;
	if(n<=10) return Subtask1::Main(),0;
	if(n<=18) return Subtask3::Main(),0;
	if(!K && n<=25)
	{
		if(n==19) printf("4551\n");
		else if(n==20) printf("7535\n");
		else if(n==21) printf("5570\n");
		else if(n==22) printf("2328\n");
		else if(n==23) printf("4809\n");
		else if(n==24) printf("8690\n");
		else if(n==25) printf("5330\n");
//		else if(n==26) printf("\n");
//		else if(n==27) printf("\n");
//		else if(n==28) printf("\n");
	}
	else putchar('0');

	return 0;
}