洛谷P3676 小清新数据结构题 [动态点分治]

传送门

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思路

这思路好妙啊！

首先很多人都会想到推式子之后树链剖分+线段树，但这样不够优美，不喜欢。

脑洞大开想到这样一个式子：

\[\sum_{x} sum_x(All-sum_x)
\]

其中\(sum_x\)表示\(x\)子树和，\(All\)表示所有点的权值和。

发现不管哪个点为根，只要每个点的权值不变，这个式子的值就不变。

证明：对于点对\((u,v)\)，\(w_u\times w_v\)被算了\(dis(u,v)\)次，因为每个在路径上的\(x\)都会算一次。

于是就有

\[W=\sum_x sum_x(All-sum_x)=All\sum_x sum_x -\sum_x sum_x^2\\
\sum_{x} sum_x^2=All\sum_x sum_x-W
\]

\(W​\)怎么统计呢？\(w_x+=\Delta w​\)时\(W+=\Delta w\sum_u w_udis(u,x)​\)，后面的可以动态点分治。

以\(root\)为根时\(\sum_x sum_x\)等价于\(\sum_x w_x(dis(x,root)+1)=All+\sum_x w_xdis(x,root)\)，同样可以动态点分治。

点分治的具体做法参见幻想乡战略游戏，式子基本一样，但那里的代码很繁琐，建议代码看这里。

那么就做完啦！

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pil pair<int,ll>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 202020
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    	while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    	while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.txt","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m;
ll val[sz];
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

bool vis[sz];
int size[sz],mn,root,tot;
#define v edge[i].t
void findroot(int x,int fa)
{
	int S=-1;
	size[x]=1;
	go(x) if (v!=fa&&!vis[v])
	{
		findroot(v,x);
		chkmax(S,size[v]);
		size[x]+=size[v];
	}
	chkmax(S,tot-size[x]);
	if (chkmin(mn,S)) root=x;
}
vector<int>fa[sz],disf[sz];
ll sum[sz]; // \sum val[v]
ll Sum[sz]; // \sum val[v]*dis(x,v)
ll sumF[sz]; // \sum val[v]*dis(fa[x],v)
void dfs(int x,int par,int u,int d)
{
	fa[x].push_back(u);disf[x].push_back(d);
	go(x) if (v!=par&&!vis[v]) dfs(v,x,u,d+1);
}
void build(int x)
{
	vis[x]=1;dfs(x,0,x,0);
	int all=tot;
	go(x) if (!vis[v])
	{
		tot=size[v];if (tot>size[x]) tot=all-size[x];mn=1e9;
		findroot(v,0);
		build(root);
	}
}
#undef v
void add(int x,ll w)
{
	drep(i,(int)fa[x].size()-1,1)
	{
		int u=fa[x][i];
		ll d=disf[x][i],dd=disf[x][i-1];
		sum[u]+=w;Sum[u]+=w*d;sumF[u]+=w*dd;
	}
	int u=fa[x][0],d=disf[x][0];
	sum[u]+=w;Sum[u]+=w*d;
}
ll query(int x)
{
	ll ret=Sum[x];
	drep(i,(int)fa[x].size()-2,0)
	{
		int u=fa[x][i],uu=fa[x][i+1];
		ll d=disf[x][i];
		ret+=Sum[u]-sumF[uu]+d*(sum[u]-sum[uu]);
	}
	return ret;
}

ll W,All;
void Add(int x,ll w)
{
	W+=w*query(x);All+=w;
	add(x,w);
	val[x]+=w;
}
ll Query(int x){return All*(query(x)+All)-W;}

int main()
{
	file();
	read(n,m);
	int x,y,z;
	rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
	tot=n;mn=1e9;findroot(1,0);build(root);
	rep(i,1,n) read(x),Add(i,x);
	while (m--)
	{
		read(z);
		if (z==1) read(x,y),Add(x,y-val[x]);
		else read(x),printf("%lld\n",Query(x));
	}
	return 0;
}