「洛谷P1516」青蛙的约会

洛谷题号：P1516

出处：？

主要算法：数论

难度：4.4

思路分析：

典型的同余方程。由于是纬线，绕一圈是可以绕回来的，所以是可以取模的。

　　阅读题目，很容易得到同余方程$ x + tm ≡ y + tn (mod\ L)$

　　于是我们可以通过Exgcd来求解。先转化为不定方程 $ x + tm - y - tn = sL $

　　整理得 $ (m - n)t - Ls = y - x $

　　设 $a = n - m, b = L, c = x - y$，代入可得 $ -at - bs = -c $，即 $ at + bs = c $

　　因此通过先求解 $ at + bs = gcd(a, b) $，最后就能够解得一组特解了。转化成最小正整数解即可。

　　然而要处理的事情还有很多。首先我们来想如何得到最小正整数解。

　　设答案为$x$，我们得到的特解为$x_0$，则根据我们的公式一定有 $ x_0 = x + k * b / gcd(a, b) $。我们可以把它看做出发的形式，即$ x = x_0 \% (b / gcd(a, b)) $。

　　因此我们的答案就是$ x \% (b / gcd(a, b)) $ …… ？万一$x \leq 0$？我们的答案应该是 $ (x + (b / gcd(a, b)) \% (b / gcd(a, b) $，防止爆负数。

　　但是考虑一下$ b/gcd(a,b) 与 a, b$的符号，若$a, b$同号那没事，如果$a, b$异号且$ a < 0, b > 0$，那么情况就有点麻烦了……… $ gcd(a, b) $肯定小于0，而$b > 0$，所以 $ b / gcd(a, b) $ 一定小于0，因此按照这样的做法，答案不仅无法变成最小正整数解，反而更小了……

　　有没有一种方法来避免$ a < 0, b > 0$这种情况呢？

　　考虑可不可以永远保持$a$为正数。

　　$ax + by = c$ 与 $-ax + by = -c$的解是否完全一样？

　　乍一眼看不出来，可以转化为同余方程的形式，那么前者就能够变成$ c ≡ ax (mod\ b) $，后者就能够变成$ ax ≡ c (mod\ b) $。看来是完全一样的。

　　因此当$a < 0$时，$a$和$c$转换成相反数就可以了。

代码注意点：

　　long long

Code

/*By QiXingzhi*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
const int N = ;
const int INF = ;
inline int read(){
    int x = ; int w = ; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -, c = getchar();
    while(c >= '' && c <= '') x = (x << ) +(x << ) + c - '', c = getchar();
    return x * w;
}
int x,y,m,n,L,s,t,a,b,c,g;
int gcd(int a, int b){
    return b==?a:gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a, int b){
    if(b == ){
        t = ;
        s = ;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int tmp = t;
    t = s;
    s = tmp - a/b * s;
}
#undef int
int main(){
#define int ll
    //freopen(".in","r",stdin);
    x = r, y = r, m = r, n = r, L = r;
    a = n - m;
    b = L;
    c = x - y;
    if(a < ){
        a = -a;
        c = -c;
    }
    g = gcd(a,b);
    exgcd(a,b);
    t *= c / g;
    s *= c / g;
    if(c % g != ){
        printf("Impossible");
        return ;
    }
    printf("%lld",(t + (b/g)) % (b/g));
    return ;
}