CSAPC2008 skyline
一座山的山稜线由许多片段的45度斜坡构成,每一个片段不是上坡就是下坡。
*
* * /\
* /\ /\/ \
/\/ \/ \
在我们眼前的所见的任何宽度为n个单位的山稜形状,可以轻松地观察到所有山顶的位置。
请问有多少种山稜线的形状,使得所有山顶的位置由左而右非递减呢?
所有的山稜线都必须完整,也就是说左右两端都必须是高度为0的山脚,而且不能有任何山谷的位置隐没在地平线底下。
输入说明 :
输入仅包含一个数字n,n一定会是偶数,因为会有相同片段数量的上坡以及下坡。
输出说明 :
请输出山顶位置由左而右非递减的山稜线形状总数。
由于答案可能很大,你只要输出以十进位表示时,它的最后9位数即可。
范例输入 :
6
范例输出 :
4
提示 :
佔总分20%的测试数据中 n<=60
佔总分40%的测试数据中 n<=200
佔总分100%的测试数据中 n<=3000
题解:
动态规划
记dp[i][j]表示长度为i+j,山稜最大高度为j时的方案数,那么它可以由以下两种状态转移过来。
1)dp[i-1][j-1](在原图形的两侧分别加上一条线,如下图)
2)之前已经存在了的最大高度为j的山峰,在左边补上高度比它小的山峰而形成的,如下图
我们将情况2)通过一个前缀和数组sum[i][j]表示(表示长度不超过i+j且高度为j的方案数)
那么状态转移方程即为:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+sum[i-2][j],
sum[i][j]=sum[i-1][j]+dp[i][j]
为了保证合法则必须有(i+j) mod 2=0
那么这题是不是结束了?并没有
在情况2)中,我们直接加上了sum[i-2][j],这样做有什么问题吗?
我们考虑下面的图
对于左面新添加的山稜,为了保证答案的合法,只能在它的旁边加上高度不超过当前最大高度的山稜,即下面的转移是不合法的
但是如果我们只是单纯的加上sum[i-2][j]是无法解决上面所提到的不合法的情况
即:我们在转移完了之后,要减去一部分不合法的情况
这些不合法的情况是:长度小于i-j,高度为j的所有山稜
所以在转移完成之后需要将sum[i-j-j-1][j]减去即可
最后答案:
程序:
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; const int maxd=; int dp[][]={}; int sum[][]={}; int main() { int n,i,j,s; dp[][] = ; sum[][] = ; for( i=; i<=; i++ ) { for( j=; j<i; j++ ) { if((i+j)%==) { dp[i][j] = (dp[i-][j-]+sum[i-][j])%maxd; if(i-j-j->=) { dp[i][j] = (dp[i][j]-sum[i-j-j-][j])%maxd; if(dp[i][j]<) dp[i][j]+=maxd; } } sum[i][j] = (sum[i-][j]+dp[i][j])%maxd; } dp[i][i] = ; sum[i][i] = ; } scanf("%d",&n); s = ; for( i=; i<=n/; i++ ) { s = (s+dp[n-i][i])%maxd; } printf("%d\n",s); return ; }
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