LA3490 Generator(KMP + 高斯消元)

题意

一开始给你一个长为 \(S\) 的字符串。

从空串开始，不断在后面添加一个 \([A, A + n]\) 的一个字符。

第一次包含 \(S\) 的时候会停止添加。问期望的添加次数。

有 \(T\) 组数据。

\(T \le 10, |S| \le 12, n \le 26\)

题解

单模板匹配的直接用 \(\mathrm{KMP}\) 就可以了。

那么我们枚举 \(S\) 第 \(i\) 位 \(S_i\) ，然后枚举当前这位填的数 \(c\) ，那么就会转移到 \(S_{\delta (i, c)}\) 。（这个过程和普通匹配跳 \(fail\) 是一样的）

然后是期望，我们考虑倒推。令 \(dp_i\) 为当前匹配了前 \(i\) 位期望添加的字符才能匹配完。

那么显然有如下的转移：

• \(i = |S|: dp_i = 0\)
• \(i \not = |S|: dp_i = (\sum_{c} dp_{\delta(i, c)}) + 1\)

这样转移显然会出环。这种 \(dp\) 直接上高斯消元即可。

但是如果直接用 long double 做的话，虽然样例过得了，但是精度会被卡掉。

那有什么好办法吗？答案看起来一定是整数，那么我们显然想用 long long 解决。

前面消成上三角的时候，除的东西不能保证整除。

其中一种解决办法是用几个模数进行模意义下的消元，然后 \(CRT\) 合并即可。但是不太好写。

后来问了 zhou888 ，它告诉我一个神奇的做法，每次消去一行的时候，辗转相除，不断除掉共有的最多的那个就行了。

虽然多了个 \(\log n\) 的复杂度，但是确实好写啊。。。

然后复杂度就是 \(O(|S| \times n + |S|^3 \log n)\) 的。

代码

具体实现可以见代码。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

typedef long long ll;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("3490.in", "r", stdin);
	freopen ("3490.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 14;

ll Mat[N][N];

void Gauss(int n) {
	For (i, 1, n) {
		For (j, i + 1, n) {
			ll a = Mat[i][i], b = Mat[j][i];
			while (b) {
				ll tmp = a / b; a %= b; swap(a, b); swap(Mat[i], Mat[j]);
				For (k, i, n + 1) Mat[j][k] -= tmp * Mat[i][k];
			}
		}
	}
	Fordown (i, n, 1) {
		For (j, i + 1, n)
			Mat[i][n + 1] -= Mat[i][j] * Mat[j][n + 1], Mat[i][j] = 0;
		Mat[i][n + 1] /= Mat[i][i]; Mat[i][i] = 1;
	}
}

int n, fail[N];

void Get_Fail(char *S) {
	For (i, 2, strlen(S + 1)) {
		int j = fail[i - 1];
		while (j && S[i] != S[j + 1]) j = fail[j];
		fail[i] = S[i] == S[j + 1] ? j + 1 : 0;
	}
}

char str[N];

int main () {

	File();

	For (cases, 1, read()) {

		int alpha = read(); scanf ("%s", str + 1);

		int n = strlen(str + 1);

		Get_Fail(str); Set(Mat, 0);
		Mat[n + 1][n + 1] = alpha;
		For (i, 0, n - 1) {
			Mat[i + 1][i + 1] = Mat[i + 1][n + 2] = - alpha;
			Rep (j, alpha) {
				char cur = j + 'A';

				int pos = i;
				while (pos && str[pos + 1] != cur) pos = fail[pos];
				if (str[pos + 1] == cur) ++ pos;
				Mat[i + 1][pos + 1] += 1;
			}
		}

		Gauss(n + 1);

		printf ("Case %d:\n", cases);
		printf ("%lld\n", Mat[1][n + 2]);
		if (cases < casesend) putchar('\n');

	}

	return 0;

}