hdu1201，hdu6252差分约束系统

差分约束系统一般用来解决a-b>=c的问题，有n个这样的限制条件，求出某个满足这些条件的解

可以将这个问题转化成最长路问题，即b到a的距离最少为c，而有多条b到a的路的话，我们就取最长的b到a的距离。

将限制条件转化成为一条边，然后求最长路，一般解决最长路问题，我们使用的算法是spfa

入门题   hdu1201

题意：有n个限制条件，区间a到b至少是有c个点，求满足条件的最少端点数

分析：需要满足所有条件，那么首先想到的是差分约束系统。先定义数组G，Gi为0到i有Gi个端点，那么条件a到b区间至少有c个端点可以转化成，Gb-G(a-1)>=c

，显然n个限制条件是不够的，还需要满足1>=G(i+1)-G(i)>=0,转化为，G(i+1)-G(i)>=0和G(i-1)-G(i)>=-1，用这些边构造一个图，然后G(max)即为答案

由于边的数量比较多，用vector构图的话会超时，所以用邻接表加spfa

ac代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 50000+10;
int f[maxn],nex[maxn*3],w[maxn*3],to[maxn*3],cnt;
void add(int x,int y,int k)
{
     cnt++;
     w[cnt]=k;
     to[cnt]=y;
     nex[cnt]=f[x];
     f[x]=cnt;
}
bool vis[maxn];
int dis[maxn];

int spaf()
{
    for(int i=0;i<maxn;i++)dis[i]=-1;
    queue<int>que;
    que.push(0);
    vis[0]=1;
    dis[0]=0;
    while(que.size())
    {
      //  for(int i=0;i<=13;i++)cout<<dis[i]<<" ";cout<<endl;

        int x=que.front();
        que.pop();
        vis[x]=0;
       // cout<<x<<endl;
        for(int i=f[x];i;i=nex[i])
        {
           // cout<<to[i]<<" ";
            if(dis[x]+w[i]>dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]]=dis[x]+w[i];
                if(vis[to[i]]==0)
                {
                    vis[to[i]]=1;
                    que.push(to[i]);
                }
            }
        }
      //  cout<<endl;
    }

}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<maxn;i++)f[i]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,w;
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
        add(x,y+1,w);
    }
    for(int i=1;i<=50000+1;i++)
    {
        add(i-1,i,0);
        add(i,i-1,-1);
    }
    spaf();
    printf("%d\n",dis[50000+1]);
	return 0;
}

　　

提升题    hdu6252

题意：给出的也是限制条件，但是也需要注意一个限制条件，dis[i]-dis[i-1]>0

ac代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=2005;
int f[maxn],w[maxn*3],to[maxn*3],nex[maxn*3];
bool vis[maxn];
int out[maxn],cnt=0,dis[maxn],n,m,k;
void add(int a,int b,int c)
{
    cnt++;
    w[cnt]=c;
    to[cnt]=b;
    nex[cnt]=f[a];
    f[a]=cnt;
}
bool spfa()
{
    for(int i=1; i<maxn; i++)dis[i]=-1,vis[i]=0,out[i]=0;
    queue<int>que;
    que.push(1);
    vis[1]=1;
    dis[1]=0;
    while(que.size())
    {
      //  for(int i=1;i<=n;i++)printf(" %d",dis[i]);cout<<endl;
        int x=que.front();
      //  cout<<x<<"out"<<endl;
        vis[x]=0;
        que.pop();
        out[x]++;
        if(out[x]>n)
            return false;
        for(int i=f[x]; i; i=nex[i])
        {
          //  cout<<to[i]<<"to"<<endl;
            if(dis[x]+w[i]>dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]]=dis[x]+w[i];
                if(vis[to[i]]==0)
                {
                    que.push(to[i]);
                    vis[to[i]]=1;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    for(int cn=1; cn<=T; cn++)
    {
        cnt=0;
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
        for(int i=1; i<maxn; i++)f[i]=0;
        for(int i=2; i<=n; i++)
            add(i-1,i,1);
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int a,b,c,d;
            scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
            if(a==b&&c==d)
            {
                add(b,c,k);
                add(c,b,-k);
            }
            else
            {
                add(c,b,1-k);
                add(a,d,k+1);
            }
        }
        if(spfa())
        {
            printf("Case #%d:",cn);
            for(int i=2;i<=n;i++)
                printf(" %d",dis[i]-dis[i-1]);
            cout<<endl;
        }
        else
            printf("Case #%d: IMPOSSIBLE\n",cn);
    }
    return 0;
}

总结：

1.如果给出的是a-b>c，我们可以转化为，a-b>=c+1

2.如果给出的是a-b<=c，我们可以转化为，b-a>=-c

3.对于a-b>=c，我们可以构成b到a距离为c的边，然后构成图，求最长路

4.对于a-b<=c，我们可以构成b到a距离为c的边，然后构成图，求最短路

5.如果这些限制条件存在矛盾，即没有合法的答案时，图会存在回路，只需要判断某个点出队次数超过n次，直接返回false

6.一般情况，题目会存在一些隐含的限制条件，需要我们推理出来