hihocoder第226周:打表找规律
问题描述
有一个文本框,可以执行以下操作:
- 输入A
- Ctrl+C 复制
- Ctrl+V 粘贴
- Ctrl+A 全选
N次操作最多能够造出多少个A来?
输入一个N,输出一个整数,表示最多有多少个A。因为输出结果太大,需要模上1e9+7。
暴力方法
定义一个Node,use表示操作次数,count表示当前的A的个数,paste表示粘贴板上的A的个数。
class Node {
int use;
int count;
int paste;
Node(int use, int count, int paste) {
this.use = use;
this.count = count;
this.paste = paste;
}
}
使用优先队列,按照use从小到大进行扩展。对于每个结点,根据use和count更新状态。
复杂度极高,只能求到20左右。
动态规划方法
思考四种操作之间的关系,可以发现以下贪心法则:
- ctrl+A,ctrl+C,ctrl+V必然是一气呵成的
- 只要剪贴板上有东西,就不可能直接输入A。直接输入A只能获取一个字符,ctrl+V则可以获取至少一个。
定义f[n]表示n个操作的最大长度,只需要假设最后一次操作为i(i<n-2),那么f[n]=f[i]*(n-i-1)
,表示执行n-i-1次粘贴操作。使用last[n]表示n个操作的上次复制时机。打表很容易发现规律。
对于n<16
,没有明确规律。
对于n>=16
,f[n]=f[n-5]*4
找到了规律,就很容易通过计算的方式求解了。
数学方法
import java.util.Scanner;
public class Main {
long mod = 1000000007;
long[] a = new long[100];
int[] last = new int[a.length];
long pow(long x, int y) {
if (y == 0) return 1;
if (y == 1) return x;
long z = pow(x, y / 2);
if (y % 2 == 0) {
return z * z % mod;
} else {
return z * z * x % mod;
}
}
long solve(int x) {
if (x <= 16) return a[x];
int power = (x - 11) / 5;
int which = (x - 11) % 5;
long ans = a[11 + which] * pow(4, power) % mod;
return ans;
}
Main() {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int x = cin.nextInt();
for (int i = 0; i < 6; i++) {
a[i] = i;
}
for (int i = 6; i <= 16; i++) {
for (int j = 1; j < i - 2; j++) {
long now = a[j] * (i - 1 - j);
if (now > a[i]) {
a[i] = now;
last[i] = j;
}
}
}
System.out.println(solve(x));
}
public static void main(String[] args) {
new Main();
}
}
总结
一直以来,数学中最奇妙的东西都是像这道题所体现出来的那样。
在数据较小的时候毫无规律,当数据达到一定程度之后,规律突然“冒”出来了。
这是最神奇的事物。这是这道题第一个有趣的地方。
第二个有趣的地方是,简单的定义引出复杂的结论。
这道题非常切合实际,大部分程序员在某个瞬间应该都闪念过这个问题,但是没有深究。谁能想到简单的题设背后蕴含着如此复杂精致的规律。
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