DZY Loves Colors CodeForces - 444C (线段树势能分析)

大意:有$n$个格子, 初始$i$位置的颜色为$i$, 美丽值为0, 有两种操作

• 将区间$[l,r]$内的元素全部改为$x$, 每个元素的美丽值增加$|x-y|$, $y$为未改动时的值
• 询问区间$[l,r]$所有元素的美丽值之和

现在给定$m$个操作, 让你输出所有操作2的询问结果.

直接线段树暴力修改, 操作2复杂度显然$O(logn)$, 考虑操作1复杂度的证明.

操作1可以看成先区间增加贡献, 之后再区间赋值, 会产生额外复杂度的只有杂色区间, 考虑杂色区间的势能.

将初值看做n次赋值操作, 不影响复杂度的证明, 现在初始是纯色的, 势能为0.

考虑$[l,r]$范围内的一次操作1, 假设$[l,r]$内杂色区间数为H.

对于区间增加贡献, 复杂度为$O(logn+H)$, 不改变势能.

对于区间赋值, 复杂度$O(logn)$, 势能会减少H, 并且最多会再增加$O(logn)$新的势能, 因为覆盖到的区间数是$O(logn)$的.

所以总复杂度$(mlogn)$.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc (o<<1)
#define rc (lc|1)
#define ls lc,l,mid
#define rs rc,mid+1,r
using namespace std;
typedef long long ll;
 
const int N = 1e5+10;
int n, m;
struct _ {
	int c;
	ll sum, tag;
	void upd(int cc, ll x, int len) {
		c=cc,sum+=len*x,tag+=x;
	}
	_ operator + (const _&rhs) const {
		_ r;
		r.c = (c==rhs.c?c:0);
		r.sum = sum+rhs.sum;
		r.tag = 0;
		return r;
	}
} tr[N<<2];
 
void pd(int o, int l, int r) {
	if (tr[o].tag) {
		tr[lc].upd(tr[o].c,tr[o].tag,mid-l+1);
		tr[rc].upd(tr[o].c,tr[o].tag,r-mid);
		tr[o].tag=0;
	}
}
 
void update(int o, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
	if (ql<=l&&r<=qr&&tr[o].c) return tr[o].upd(x,abs(x-tr[o].c),r-l+1);
	pd(o,l,r);
	if (mid>=ql) update(ls,ql,qr,x);
	if (mid<qr) update(rs,ql,qr,x);
	tr[o] = tr[lc]+tr[rc];
}
ll query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
	if (ql<=l&&r<=qr) return tr[o].sum;
	pd(o,l,r);
	ll ans = 0;
	if (mid>=ql) ans+=query(ls,ql,qr);
	if (mid<qr) ans+=query(rs,ql,qr);
	return ans;
}
void build(int o, int l, int r) {
	if (l==r) return tr[o].c=l,void();
	build(ls),build(rs);
}
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	build(1,1,n);
	REP(i,1,m) {
		int op, l, r, x;
		scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
		if (op==1) {
			scanf("%d", &x);
			update(1,1,n,l,r,x);
		} else {
			printf("%lld\n", query(1,1,n,l,r));
		}
	}
}