洛谷.4245.[模板]任意模数NTT(MTT/三模数NTT)

题目链接

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三模数\(NTT\)：

就是多模数\(NTT\)最后\(CRT\)一下...下面两篇讲的都挺明白的。

https://blog.csdn.net/kscla/article/details/79547242

https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/85561887

模数不是\(NTT\)模数，考虑用多个\(NTT\)模数分别卷积，最后\(CRT\)合并（由中国剩余定理，同余方程组在模\(M=\prod m_i\)的情况下解是唯一的）。

卷积后\(a_i\)的最大值是\((10^9)^2\times10^5=10^{23}\)，所以需要选几个乘积\(>10^{23}\)的质数，比如\(m_1=998244353=2^{23}*119+1,\quad m_2=1004535809=2^{21}*479+1,\quad m_3=469762049=2^{26}*7+1\)。它们的原根都是\(3\)。

最后我们能求出三个同余方程：$$x\equiv c_1\ (\mathbb{mod}\ m_1)\x\equiv c_2\ (\mathbb{mod}\ m_2)\x\equiv c_3\ (\mathbb{mod}\ m_3)$$

我们可以用\(CRT\)合并两个，就有\(x\equiv c_4\ (\mathbb{mod}\ m_1m_2)\)。

设\(x=am_1m_2+c_4\equiv c_3\ (\mathbb{mod}\ m_3)\)，就可以算出\(a\equiv\frac{c_3-c_4}{m_1m_2}\ (\mathbb{mod}\ m_3)\)，有了\(a\)代回去就算出\(x\)啦（虽然是模\(m_3\)意义下求的\(a\)，但是设\(a=km_3+b\)，代回到\(x\)里模\(m_1m_2m_3\)就把\(km_3\)那项消掉啦，只剩下\(b\)）（当然前两个式子也可以这么合并）。

这样一共需要\(9\)次\(DFT\)，常数巨大。

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拆系数\(FFT\)(\(MTT\))

\(FFT\)的问题在于精度，我们可以压缩值域。

令\(m=\lceil\sqrt p\rceil,\ A_i=a\times m+b,\ B_i=c\times m+d\)，那么\(h_{i+j}=\sum(a_im+b_i)(c_jm+d_j)=\sum a_ic_jm^2+(a_id_j+b_ic_j)m+b_id_j\)，分别求出四项（中间两项放一块算），就只需要\(7\)次\(DFT\)。

为了方便可以令\(m=2^{15}=32768\)。

这样\(FFT\)后的最大结果是\(10^5\times2^{30}=10^{14}\)，注意取模。

注意std::sin的精度比sin高！因为值域依旧很大所以必须要注意这个，还要开long double。

还有个挺重要的优化是预处理单位根，预处理\(lim\)次单位根的\(0\sim lim-1\)次方，用\(\omega_i^k\)时就是\(\omega_{lim}^{k\times\frac{lim}{i}}\)（怎么都预处理的\(2lim\)次单位根啊...）。

注意预处理的时候不要像\(FFT\)里那样每次w=w*Wn，而是对每个单位根直接用欧拉公式算，这样精度误差会小非常多，就可以把long double替换成double了...（然后就可以快很多很多）

（嗯...误差问题都出在求单位根上了...）

现在\(7\)次\(DFT\)已经挺快了...还可以优化，可以看毛啸的论文，或者这里以及这里。我咕了。

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三模数\(NTT\)：

//3786ms	8.95MB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define G 3
#define MOD(x,mod) x>=mod&&(x-=mod)
#define ADD(x,v,mod) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=(1<<18)+3,Mod[]={998244353,469762049,1004535809};

int tA[N],tB[N],A[N],B[N],Ans[3][N],rev[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
inline int FP(int x,int k,const int mod)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
	return t;
}
inline LL Mult(LL a,LL b,LL p)
{
	LL t=a*b-(LL)((long double)a/p*b+1e-8)*p;
	return t<0?t+p:t;
}
void NTT(int *a,int lim,int opt,const int mod)
{
	const int invG=FP(G,mod-2,mod);
	for(int i=1; i<lim; ++i) if(i<rev[i]) std::swap(a[i],a[rev[i]]);//&&
	for(int i=2; i<=lim; i<<=1)
	{
		int mid=i>>1,Wn=FP(~opt?G:invG,(mod-1)/i,mod);
		for(int j=0; j<lim; j+=i)
			for(int t,w=1,k=j; k<j+mid; ++k,w=1ll*w*Wn%mod)
				a[k+mid]=a[k]+mod-(t=1ll*a[k+mid]*w%mod), MOD(a[k+mid],mod),
				ADD(a[k],t,mod);
	}
	if(opt==-1) for(int i=0,inv=FP(lim,mod-2,mod); i<lim; ++i) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
}
void Solve(const int lim,int *ans,const int mod)
{
	memcpy(A,tA,lim<<2), memcpy(B,tB,lim<<2);//不能只赋值到n！（清空后面的）
	NTT(A,lim,1,mod), NTT(B,lim,1,mod);
	for(int i=0; i<lim; ++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,lim,-1,mod);
	for(int i=0; i<lim; ++i) ans[i]=A[i];
}

int main()
{
	const int n=read(),m=read(),P=read();
	for(int i=0; i<=n; ++i) tA[i]=read(),tA[i]>=P&&(tA[i]%=P);
	for(int i=0; i<=m; ++i) tB[i]=read(),tB[i]>=P&&(tB[i]%=P);
	int lim=1,l=-1; while(lim<=n+m) lim<<=1,++l;
	for(int i=1; i<lim; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	for(int i=0; i<3; ++i) Solve(lim,Ans[i],Mod[i]);
	#define m1 998244353ll
	#define m2 469762049ll
	#define m3 1004535809ll
	const LL M12=m1*m2,inv2=FP(m2,m1-2,m1),inv1=FP(m1,m2-2,m2),mul2=m2*inv2%M12,mul1=m1*inv1%M12,
			inv=FP(M12%m3,m3-2,m3),m12=M12%P;
	for(int i=0,t=n+m; i<=t; ++i)
	{
		LL c1=Ans[0][i],c2=Ans[1][i],c3=Ans[2][i],c4=Mult(c1,mul2,M12)+Mult(c2,mul1,M12);
		MOD(c4,M12);
		LL a=((c3-c4)%m3+m3)/*%m3*/*inv%m3;
		printf("%d ",(int)((a*m12+c4)%P));
	}

	return 0;
}

\(MTT\)：

//1094ms	26.14MB
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
typedef long double ld;
//#define double long double
const int N=(1<<18)+3;
const double PI=acos(-1);

int rev[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Complex
{
	double x,y;
	Complex(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
	inline Complex operator +(const Complex &a)const {return Complex(x+a.x, y+a.y);}
	inline Complex operator -(const Complex &a)const {return Complex(x-a.x, y-a.y);}
	inline Complex operator *(const Complex &a)const {return Complex(x*a.x-y*a.y, y*a.x+x*a.y);}
}A[N],B[N],C[N],D[N],W[N];

inline int read()
{
	int now=0; register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
void FFT(Complex *a,const int lim,const int opt)
{
	static Complex w[N];
	for(int i=1; i<lim; ++i) if(i<rev[i]) std::swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=2; i<=lim; i<<=1)
	{
		int mid=i>>1;
		if(~opt) for(int k=0,t=lim/i; k<mid; ++k) w[k]=W[k*t];
		else for(int k=0,t=lim/i; k<mid; ++k) w[k]=Complex(W[k*t].x,-W[k*t].y);
		for(int j=0; j<lim; j+=i)
		{
			Complex t;
			for(int k=j; k<j+mid; ++k)
				a[k+mid]=a[k]-(t=w[k-j]*a[k+mid]), a[k]=a[k]+t;
		}
	}
	if(opt==-1) for(int i=0; i<lim; ++i) a[i].x/=lim;
}

int main()
{
	const int n=read(),m=read(),P=read();
	for(int i=0,t; i<=n; ++i) t=read(),A[i].x=t>>15,B[i].x=t&32767;
	for(int i=0,t; i<=m; ++i) t=read(),C[i].x=t>>15,D[i].x=t&32767;

	int lim=1,l=-1; while(lim<=n+m) lim<<=1,++l;
	for(int i=0; i<lim; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	for(int i=0,t=lim>>1; i<lim; ++i) W[i]=Complex(std::cos(i*PI/t),std::sin(i*PI/t));
//	const Complex Wn(std::cos(2.0*PI/lim),std::sin(2.0*PI/lim)); Complex w(1,0);
//	for(int i=0; i<lim; ++i) W[i]=w, w=w*Wn;//精度巨差 

	FFT(A,lim,1), FFT(B,lim,1), FFT(C,lim,1), FFT(D,lim,1);
	for(int i=0; i<lim; ++i)
	{
		const Complex a=A[i],b=B[i],c=C[i],d=D[i];
		A[i]=a*c, B[i]=a*d+b*c, D[i]=b*d;
	}
	FFT(A,lim,-1), FFT(B,lim,-1), FFT(D,lim,-1);
	for(int i=0,t=n+m; i<=t; ++i)
	{
		LL res=((LL(A[i].x+0.5))%P<<30)+((LL(B[i].x+0.5))%P<<15)+(LL(D[i].x+0.5));
		printf("%d ",(int)(res%P));
	}

	return 0;
}