2019.02.16 bzoj5466: [Noip2018]保卫王国（链分治+ddp）

传送门

题意简述：

mmm次询问，每次规定两个点必须选或者不选，求树上的带权最小覆盖。

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思路：

考虑链分治+ddpddpddp

仍然是熟悉的套路，先考虑没有修改的状态和转移：

令fi,0/1f_{i,0/1}fi,0/1​表示强制iii不选/选时iii为根子树的带权最小覆盖。

显然有：

fi,0=∑v∈sonfv,1f_{i,0}=\sum_{v\in son}f_{v,1}fi,0​=∑v∈son​fv,1​

fi,1=valp+∑v∈sonmin{fv,0,fv,1}f_{i,1}=val_p+\sum_{v\in son}min\{f_{v,0},f_{v,1}\}fi,1​=valp​+∑v∈son​min{fv,0​,fv,1​}

这两个转移式。

现在分轻重儿子转移因此再定义两个状态：

令gi,0/1g_{i,0/1}gi,0/1​表示强制iii不选/选时iii为根子树去掉iii重儿子为根子树的带权最小覆盖。

gi,0=∑v∈son,v̸=hsonfv,1g_{i,0}=\sum_{v\in son,v\not=hson}f_{v,1}gi,0​=∑v∈son,v̸​=hson​fv,1​

gi,1=valp+∑v∈son,v̸=hsonmin{fv,0,fv,1}g_{i,1}=val_p+\sum_{v\in son,v\not=hson}min\{f_{v,0},f_{v,1}\}gi,1​=valp​+∑v∈son,v̸​=hson​min{fv,0​,fv,1​}

于是我们将fff的转移式进行变换：

fi,0=gi,0+fhson,1f_{i,0}=g_{i,0}+f_{hson,1}fi,0​=gi,0​+fhson,1​

fi,1=gi,1+vali+min{fhson,0,fhson,1}f_{i,1}=g_{i,1}+val_i+min\{f_{hson,0},f_{hson,1}\}fi,1​=gi,1​+vali​+min{fhson,0​,fhson,1​}

再把这个写成矩阵的形式：

(fi,0fi,1)=(∞gi,0gi,1+valigi,1+vali)(fhson,0fhson,1)
\left(
\begin{matrix}
f_{i,0}\\
f_{i,1}\\
\end{matrix}
\right)=
\left(
\begin{matrix}
\infin&g_{i,0}\\
g_{i,1}+val_i&g_{i,1}+val_i\\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
f_{hson,0}\\
f_{hson,1}\\
\end{matrix}
\right)
(fi,0​fi,1​​)=(∞gi,1​+vali​​gi,0​gi,1​+vali​​)(fhson,0​fhson,1​​)

注意要重定义矩阵运算时的加法和乘法：

乘法⇒\Rightarrow⇒加法

加法⇒\Rightarrow⇒取minminmin

然后对于每个链开一棵线段树维护即可。

常数巨大 没错bzojRank最后一个就是我常数巨大的树剖写法

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pii;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
int n,m,fa[N],siz[N],top[N],hson[N],bot[N],num[N],pred[N],tot=0;
ll f[N][2],g[N][2],a[N];
vector<int>e[N];
void dfs1(int p){
	siz[p]=1;
	for(ri i=0,v;i<e[p].size();++i){
		if((v=e[p][i])==fa[p])continue;
		fa[v]=p,dfs1(v),siz[p]+=siz[v];
		if(siz[v]>siz[hson[p]])hson[p]=v;
	}
}
void dfs2(int p,int tp){
	top[p]=tp,pred[num[p]=++tot]=p,bot[tp]=p;
	f[p][0]=g[p][0]=g[p][1]=0,f[p][1]=a[p];
	if(!hson[p])return;
	dfs2(hson[p],tp);
	for(ri i=0,v;i<e[p].size();++i){
		if((v=e[p][i])==fa[p]||v==hson[p])continue;
		dfs2(v,v);
		g[p][0]+=f[v][1];
		g[p][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
	}
	f[p][0]=g[p][0]+f[hson[p]][1];
	f[p][1]=g[p][1]+a[p]+min(f[hson[p]][0],f[hson[p]][1]);
}
const ll inf=1e15,Inf=1e17;
struct Mat{
	ll a[2][2];
	inline ll*operator[](const int&k){return a[k];}
	inline void clear(){a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=Inf;}
	friend inline Mat operator*(Mat A,Mat B){
		Mat ret;
		ret.clear();
		for(ri i=0;i<2;++i)for(ri k=0;k<2;++k)if(A[i][k]^Inf)
		for(ri j=0;j<2;++j)if(B[k][j]^Inf)ret[i][j]=min(ret[i][j],A[i][k]+B[k][j]);
		return ret;
	}
};
namespace SGT{
	#define lc (p<<1)
	#define rc (p<<1|1)
	#define mid (T[p].l+T[p].r>>1)
	struct Node{
		Mat trans;
		int l,r;
		ll g[2],v,f[2];
		inline void init(){
			trans[0][0]=Inf,trans[0][1]=g[0];
			trans[1][0]=g[1]+v,trans[1][1]=g[1]+v;
		}
		inline pii val(){return pii(f[0],f[1]);}
	}T[N<<2];
	inline void Set(int p){
		int k=pred[T[p].l];
		T[p].g[0]=g[k][0],T[p].g[1]=g[k][1],T[p].v=a[k];
		T[p].f[0]=f[k][0],T[p].f[1]=f[k][1];
		T[p].init();
	}
	inline void pushup(int p){T[p].trans=T[lc].trans*T[rc].trans;}
	inline void build(int p,int l,int r){
		T[p].l=l,T[p].r=r;
		if(l==r)return Set(p);
		build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r),pushup(p);
	}
	inline void update(int p,int k){
		if(T[p].l==T[p].r)return Set(p);
		update(k<=mid?lc:rc,k),pushup(p);
	}
	inline Mat query(int p,int ql,int qr){
		if(ql<=T[p].l&&T[p].r<=qr)return T[p].trans;
		if(qr<=mid)return query(lc,ql,qr);
		if(ql>mid)return query(rc,ql,qr);
		return query(lc,ql,qr)*query(rc,ql,qr);
	}
	inline pii query(int p,int k){
		if(T[p].l==T[p].r)return T[p].val();
		return query(k<=mid?lc:rc,k);
	}
}
inline pii ask(int p){
	int bt=bot[top[p]];
	pii ret=SGT::query(1,num[bt]);
	if(bt==p)return ret;
	Mat upd=SGT::query(1,num[p],num[bt]-1);
	return pii(min(ret.fi+upd[0][0],ret.se+upd[0][1]),min(ret.fi+upd[1][0],ret.se+upd[1][1]));
}
inline void update(int p,ll x){
	f[p][1]+=x-a[p],a[p]=x;
	while(p){
		int ft=fa[top[p]],tp=top[p];
		if(ft){
			pii tmp=ask(tp);
			g[ft][0]-=tmp.se;
			g[ft][1]-=min(tmp.fi,tmp.se);
		}
		SGT::update(1,num[p]);
		if(ft){
			pii tmp=ask(tp);
			g[ft][0]+=tmp.se;
			g[ft][1]+=min(tmp.fi,tmp.se);
			f[ft][0]=g[ft][0]+f[hson[ft]][1];
			f[ft][1]=g[ft][1]+a[p]+min(f[hson[ft]][0],f[hson[ft]][1]);
		}
		p=ft;
	}
}
char s[5];
int main(){
	n=read(),m=read();
	scanf("%s",s);
	for(ri i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	for(ri i=1,u,v;i<n;++i)u=read(),v=read(),e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
	dfs1(1),dfs2(1,1),SGT::build(1,1,n);
	for(ri x,y,t1,t2,vx,vy;m;--m){
		x=read(),t1=read(),y=read(),t2=read();
		if(!t1&&!t2&&(fa[x]==y||fa[y]==x)){puts("-1");continue;}
		vx=a[x],vy=a[y];
		update(x,t1?a[x]-inf:a[x]+inf),update(y,t2?a[y]-inf:a[y]+inf);
		pii tmp=ask(1);
		ll ans=min(tmp.fi,tmp.se);
		if(t1)ans+=inf;
		if(t2)ans+=inf;
		cout<<ans<<'\n';
		update(x,vx),update(y,vy);
	}
	return 0;
}