洛谷 P3705 [SDOI2017]新生舞会 解题报告

P3705 [SDOI2017]新生舞会

题目描述

学校组织了一次新生舞会，\(Cathy\)作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。

有\(n\)个男生和\(n\)个女生参加舞会买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。

\(Cathy\)收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出\(a_{i,j}\)

\(Cathy\)还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出\(b_{i,j}\) ，表示第\(i\)个男生和第\(j\)个女生一起跳舞时的不协调程度。

当然，还需要考虑很多其他问题。

\(Cathy\)想先用一个程序通过\(a_{i,j}\)和\(b_{i,j}\) ,求出一种方案，再手动对方案进行微调。

\(Cathy\)找到你，希望你帮她写那个程序。

一个方案中有\(n\)对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是\(a'_1,a'_2,...,a'_n\)

假设每对舞伴的不协调程度分别是\(b'_1,b'_2,...,b'_n\)

令\(C=\frac{a'_1+a'_2+...+a'_n}{b'_1+b'_2+...+b'_n}\)

\(Cathy\)希望\(C\)值最大。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数\(n\)。

接下来\(n\)行，每行\(n\)个整数，第\(i\)行第\(j\)个数表示\(a_{i,j}\)

接下来\(n\)行，每行\(n\)个整数，第i行第j个数表示\(b_{i,j}\)

输出格式：

一行一个数，表示\(C\)的最大值。四舍五入保留6位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等。

说明

对于10%的数据， \(1≤n≤5\)

对于40%的数据， \(1≤n≤18\)

另有20%的数据， \(b_{i,j}≤1\)

对于100%的数据，\(a_{i,j},b_{i,j}<=10^4,1≤n≤100\)

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做的第一道01分数规划的题。

01分数规划问题大多采用一种二分答案解法。

我们分数拆成整数，即

\(C*(b'_1+b'_2+...+b'_n)=a'_1+a'_2+...+a'_n\)

然后猜测一个\(C\)的值，检验在最优\(a,b\)配对的情况下左边与右边的大小关系，进而对\(C\)进行二分答案

如何求解最优配对呢？

再转化一下式子，左边-右边=

\(\sum_{i=1}^n (a'_i-b'_i*C)\)

我们要求解sum的最大值。

如果我们把对应点连上边\((a'_i-b'_i*C)\)，就变成了跑 最大费用最大流或者 二分图带权匹配了

最后一点，这个题它卡常...

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吸氧code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=204;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double finf=1e100;
int a[N][N],b[N][N],n,used[N],pre[N];
double l=0.0,r=0.0,dis[N];
struct node
{
    double c;
    int from,to,next,w;
}edge[N*N];
int head[N],cnt=-1;
void add(int u,int v,double c,int w)
{
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].from=u;edge[cnt].w=w;edge[cnt].c=c;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
    edge[++cnt].to=u;edge[cnt].from=v;edge[cnt].w=0;edge[cnt].c=-c;edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;
}
queue <int > q;
bool spfa()
{
    memset(used,0,sizeof(used));
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    while(!q.empty()) q.pop();
    for(int i=1;i<=2*n+1;i++) dis[i]=-finf;
    dis[0]=0;
    pre[0]=-1;
    used[0]=1;
    q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        used[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to,w=edge[i].w;double c=edge[i].c;
            if(w&&dis[u]+c>dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u]+c;
                pre[v]=i;
                if(!used[v])
                {
                    used[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return dis[2*n+1]!=-finf;
}
bool check(double L)
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    cnt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(0,i,0,1);
        add(i+n,2*n+1,0,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            add(i,j+n,double(a[i][j])-double(b[i][j])*L,1);
    double sum=0.0;
    while(spfa())
    {
        int now=2*n+1;
        while(pre[now]!=-1)
        {
            edge[pre[now]].w-=1;
            edge[pre[now]^1].w+=1;
            sum+=edge[pre[now]].c;
            now=edge[pre[now]].from;
        }
    }
    return sum<0.0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            r+=a[i][j];
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&b[i][j]);
    while(l+1e-7<r)
    {
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(check(mid))
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    printf("%lf\n",l);
    return 0;
}

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2018.6.4