MT【239】离心率最大

已知点$A$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左顶点,$O$为坐标原点,过椭圆的右焦点$F$作垂直于$x$轴的直线$l$.若直线$l$上存在点$P$满足$\angle{APO}=30^{0}$,则椭圆的离心率的最大值为_____

分析:过$A,O$作圆与$l$相切.圆心角记为$\theta$,半径为$R$,则$R=\dfrac{a}{2}+c$由正弦定理$\dfrac{a}{sin\theta}=2R$
由题意$\theta\ge 30^0$易得$e=\dfrac{1}{2sin\theta}-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}$