[ZJOI2018]历史（LCT）

题意

给出一棵树,给定每一个点的 $access$ 次数,计算轻重链切换次数的最大值,带修改.

先考虑不带修改怎么做

假设 $u$ 的子树发生了两次 $access$ , 那么当且仅当这两次 $access$ 的点来自 $u$ 的两个不同的儿子的子树 , 答案才会 $+1$

要使得答案最大 , 就是尽量让所有相邻发生的 $access$ 都来自不同子树

把同类型的数挪到一边就是当 $2\times h\ge t+1$ 时,答案是 $2(t-h)$ ,否则是 $t-1$

考虑待修改怎么做

令$ f_i$表示 $i$ 的子树 access 的总次数,如果 $2f_i\ge f_{fa_i}+1$ 那么连实边 $(i,fa_i)$ 其他的都是虚边

如果把$i$子树中的点$j$权值加上$w$ , 则只会影响$j$到根节点路径的答案和虚实边关系 ,

因为 $2(f_i+w)\ge(f_{fa_i}+w)+1$所以实边还是实边 , 并且答案不会变化

所以我们只需要找到路径上的虚边进行(暴力)修改就好了 , 然后 $ans+=$ 这个点更新后的答案 $-$更新前的答案

这题难在构造实儿子(边)和虚儿子(边) , 注意到虚边只有$log$条 , 所以如果转化为

只需要修改虚儿子(边)的信息 , 剩下的通过$splay$或者其他一些操作完成就接近正解了

本题中有一个贪心 , 就是子树中$size>=$自己的一半的点的贡献的重要性 , 这个点再大也无法影响答案了 , 转化为实儿子(边)对当前点的答案无影响 , 其他的就都定义为轻边

修改是就是$splay+$暴力中的分类讨论

注意 : 对于$rs$变为虚儿子和$y$变为实儿子的判断都要考虑清楚

还有一个特别容易忽视的点 : 为了使崛起过程中战争次数最多 , 尽量要让所有相邻发生的$access$都来自不同的子树 , 于是统计$maxp$必须考虑$u$这个点 , 否则只有$70$分

可见复杂的题目一定要对每个子问题都分类清楚 , 特别是 端点 , 边界 , 根节点 , 叶节点 这些地方一般都要特判

否则甚至可能做不出,比如[HDU4035]Maze和[HDU4089]Activation

难题就是简单题的叠加 , $ZJOI$的题真神仙

细节详见代码

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)

#define Debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl

using namespace std;

typedef long long LL;

const int INF=1e9+7;

inline LL read(){

    register LL x=0,f=1;register char c=getchar();

    while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}

    while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();

    return f*x;

}

const int MAXN=4e5+5;

const int MAXM=8e5+5;

struct Edge{

    int v,next;

}e[MAXM];

int first[MAXN],Ecnt=1;

inline void Add_edge(int u,int v){

    e[++Ecnt]=(Edge){v,first[u]};

    first[u]=Ecnt;

}

int n,m;

LL ans;

namespace LCT{

    LL sum[MAXN],aux[MAXN],val[MAXN];

    int ch[MAXN][2],par[MAXN];

#define ls ch[rt][0]

#define rs ch[rt][1]

    inline bool chk(int x){return ch[par[x]][1]==x;}

    inline bool nrt(int x){return ch[par[x]][0]==x||ch[par[x]][1]==x;}

    inline void pushup(int rt){sum[rt]=sum[ls]+sum[rs]+val[rt]+aux[rt];}//全部加起来

    inline void rotate(int x){

        int y=par[x],z=par[y],k=chk(x),w=ch[x][k^1];

        ch[y][k]=w,par[w]=y;

        if(nrt(y)) ch[z][chk(y)]=x; par[x]=z;

        ch[x][k^1]=y,par[y]=x;

        pushup(y);pushup(x);

    }

    inline void splay(int x){

        while(nrt(x)){

            int y=par[x];

            if(nrt(y)){

                if(chk(x)==chk(y)) rotate(y);

                else rotate(x);

            }

            rotate(x);

        }

    }

#undef ls

#undef rs

}using namespace LCT;

//如果按常规写法会错[https://www.luogu.org/recordnew/show/17153906]

//为了使崛起过程中战争次数最多,尽量要让所有相邻发生的access都来自不同的子树

//于是统计maxp必须考虑u这个点

/*inline void dfs(int u,int pre){

    int maxp=0;

    sum[u]=val[u],par[u]=pre;

    for(int i=first[u];i;i=e[i].next){

        int v=e[i].v;

        if(v==pre) continue;

        dfs(v,u);

        sum[u]+=sum[v];

        if(sum[v]>sum[maxp]) maxp=v;

    }

    ans+=min(sum[u]-1,2*(sum[u]-sum[maxp]));

    if(sum[maxp]*2>=sum[u]+1) ch[u][1]=maxp;

    aux[u]=sum[u]-val[u]-sum[ch[u][1]];

}*/

inline void dfs(int u,int pre){

    LL maxp=val[u];int p=0;

    sum[u]=val[u],par[u]=pre;

    for(int i=first[u];i;i=e[i].next){

        int v=e[i].v;

        if(v==pre) continue;

        dfs(v,u);

        sum[u]+=sum[v];

        if(sum[v]>maxp) maxp=sum[p=v];

    }

    ans+=min(sum[u]-1,2*(sum[u]-maxp));

    if(maxp*2>=sum[u]+1) ch[u][1]=p;//存重儿子

    aux[u]=sum[u]-val[u]-sum[ch[u][1]];//虚边的size

}

#define ls ch[u][0]

#define rs ch[u][1]

inline LL calc(int u,LL total,LL weight){

    if(rs) return (total-weight)*2;

    else if(val[u]*2>=total+1) return(total-val[u])*2;

    else return total-1;

}

inline void modify(int u,int w){

    splay(u);

    LL total=sum[u]-sum[ls],weight=sum[rs];

    ans-=calc(u,total,weight);

    sum[u]+=w,val[u]+=w,total+=w;

    if(weight*2<=total) aux[u]+=weight,rs=0;//变为虚边

    ans+=calc(u,total,weight);

    pushup(u);

    //access

	//重点还是维护虚边或虚儿子信息,即access

    int v;

    for(u=par[v=u];u;u=par[v=u]){

        splay(u);

        total=sum[u]-sum[ls],weight=sum[rs];

        ans-=calc(u,total,weight);

        sum[u]+=w,aux[u]+=w,total+=w;//虚边size+=w;

        if(weight*2<=total) aux[u]+=weight,rs=0,weight=0;

        if(sum[v]*2>=total+1) aux[u]-=sum[v],rs=v,weight=sum[v];

        ans+=calc(u,total,weight);

        pushup(u);

    }

}

#undef ls

#undef rs

int main(){

    n=read(),m=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();

    for(int i=1;i<=n-1;i++){

        int x=read(),y=read();

        Add_edge(x,y);

        Add_edge(y,x);

    }

    dfs(1,0);

    printf("%lld\n",ans);

    for(int i=1;i<=m;i++){

        int x=read(),y=read();

        modify(x,y);

        printf("%lld\n",ans);

    }

}