【题解】CF#229 E-Gifts
尽管是一道E题,但真心并不很难~不难发现,有一些物品是一定要被选择的,我们所需要决策的仅仅只有那几个有重复价值的物品。
而不同名字之间的概率并不互相影响,所以我们有 \(f[i][j]\) 表示名字为 \(i\) 的物品呼唤 \(j\) 次恰好获得前 \(j\) 大的价值的物品的概率。转移方程为:
\(f[i][j] = f[i][j - 1] * j * \frac{1}{a[i][0]−j+1}\)
为什么要\(*j\) 呢?因为这第 \(j\) 个物品的排列顺序并不是固定的。
要把这 \(n\) 个物品结合起来,我们可以再建立一个 dp 数组,\(g[i][[j]\) 表示前 \(i\) 个名字中,呼唤得到恰好 \(j\) 个有重复价值的物品。我们有转移方程:
\(g[i][j] = \sum g[i - 1][j - 1] * f[i][rec[j] +1]\)
与 \(g[i][j] = \sum g[i - 1][j] * f[i][rec[i]]\)
以上两个分别表示当前名字是否呼唤到一个重复价值的物品。
有没有感觉到有什么不对?没错,在计算的时候,我们的 \(f[i][k]\) 前面是没有带系数的,也就是我们并没有去统计以这样的方式去呼唤的概率是多少。但题目中明确说明当有几种可能呼唤到最高价值的物品时,我们会等概率的任选一种。所以我们可以考虑算出总的方案数 \(c[i][j]\) ,然后再除去这个方案数,即 \(ans =\frac{g[m][cnt]}{c[m][cnt]}\)。这个的转移很简单,可以看一下代码。表面 \(n ^{3}\) ,但第二维的枚举总数限定了范围,所以完全可以承受。
不过我也很好奇……为什么 \(c[i][j]\) 一定要开 double 类型呢?不开就WA了……求解释呀,有知道的还请回复我,私信也可以呀!感激不尽QAQ
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2500
#define db long double
int n, m, tot, cnt, rec[maxn];
int a[maxn][maxn], b[maxn];
db f[maxn][maxn], g[maxn][maxn], c[maxn][maxn]; int read()
{
int x = , k = ;
char c; c = getchar();
while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
while(c >= '' && c <= '') x = x * + c - '', c = getchar();
return x * k;
} bool cmp(int x, int y) { return x > y; }
void Up(db &x, db y) { x = x + y; } int main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = ; i <= m; i ++)
{
a[i][] = read();
for(int j = ; j <= a[i][]; j ++)
a[i][j] = read(), b[++ tot] = a[i][j];
sort(a[i] + , a[i] + + a[i][], cmp);
}
sort(b + , b + + tot, cmp);
for(int i = n; i; i --)
if(b[i] == b[i - ]) cnt ++;
else break;
cnt += ; int K = b[n]; c[][] = ;
for(int i = ; i <= m; i ++)
{
f[i][] = ;
for(int j = ; j <= a[i][]; j ++)
{
if(a[i][j] < K) break;
if(a[i][j] > K) rec[i] = j;
f[i][j] = (db) f[i][j - ] * (db) j * ((db) / (db) (a[i][] - j + ));
}
}
for(int i = , tem = , up = ; i <= m; i ++)
{
int r1 = ;
for(int j = ; j <= up; j ++) c[i][j] = c[i - ][j];
for(int j = rec[i] + ; j <= a[i][]; j ++)
{
if(a[i][j] < K) break;
int t = j - rec[i]; r1 ++;
for(int k = ; k <= up; k ++)
c[i][k + t] = (c[i][k + t] + c[i - ][k]);
}
up += r1;
}
g[][] = ;
for(int i = ; i <= m; i ++)
for(int j = ; j <= cnt; j ++)
{
if(j) Up(g[i][j], g[i - ][j - ] * f[i][rec[i] + ]);
Up(g[i][j], g[i - ][j] * f[i][rec[i]]);
}
cout << fixed << setprecision() << (g[m][cnt] / (db) c[m][cnt]) << endl;
return ;
}
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