牛顿迭代

若

\[G(F_0(x))\equiv 0(mod\ x^{2^t})
\]

牛顿迭代

\[F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}(mod\ x^{2^{t+1}})
\]

以下多数都可以牛顿迭代公式一步得到

多项式求逆

给定$A(x)$求满足$A(x)*B(x)=1$的$B(x)$

写成

\[A(x)*B(x)=1(mod \ x^n)
\]

我们会求$$A(x)*B(x)=1(mod \ x^1)$$

然后我们考虑求$$A(x)*B(x)=1(mod \ x^t)$$

\[(A(x)*B(x)-1)^2=0(mod \ x^{2t})
\]

\[A(x)(2B(x)-A(x)*B^2(x))=1(mod \ x^{2t})
\]

把$2B(x)-A(x)*B^2(x)$当作新的$B$倍增算

从$mod \ x^1$倍增到大于等于$n$

# include <bits/stdc++.h>

# define RG register

# define IL inline

# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;

const int _(4e5 + 5);

const int Zsy(998244353);

const int Phi(998244352);

const int G(3);

IL int Input(){

	RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();

	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;

	for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);

	return x * z;

}

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){

	RG ll ret = 1;

	for(; y; x = x * x % Zsy, y >>= 1)

		if(y & 1) ret = ret * x % Zsy;

	return ret;

}

int N, r[_], l, A[_], B[_];

IL void NTT(RG int *P, RG int opt){

	for(RG int i = 0; i < N; ++i) if(i < r[i]) swap(P[i], P[r[i]]);

	for(RG int i = 1; i < N; i <<= 1){

		RG int wn = Pow(G, Phi / (i << 1));

		if(opt == -1) wn = Pow(wn, Zsy - 2);

		for(RG int j = 0, p = i << 1; j < N; j += p)

			for(RG int w = 1, k = 0; k < i; w = 1LL * w * wn % Zsy, ++k){

				RG int X = P[k + j], Y = 1LL * w * P[k + j + i] % Zsy;

				P[k + j] = (X + Y) % Zsy, P[k + j + i] = (X - Y + Zsy) % Zsy;

			}

	}

}

IL void Mul(RG int *a, RG int *b, RG int len){

	for(l = 0, N = 1, len += len - 1; N <= len; N <<= 1) ++l;

	for(RG int i = 0; i < N; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));

	for(RG int i = 0; i < N; ++i) A[i] = B[i] = 0;

	for(RG int i = 0; i <= len >> 1; ++i) A[i] = a[i], B[i] = b[i];

	NTT(A, 1), NTT(B, 1);

	for(RG int i = 0; i < N; ++i) A[i] = 1LL * A[i] * B[i] % Zsy * B[i] % Zsy;

	NTT(A, -1);

	RG int inv = Pow(N, Zsy - 2);

	for(RG int i = 0; i <= len; ++i) A[i] = 1LL * A[i] * inv % Zsy;

}

int n, a[_], b[_], c[_], m;

int main(RG int argc, RG char *argv[]){

	n = Input();

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) a[i] = Input() % Zsy;

	for(m = 1; m < n; m <<= 1);

	b[0] = Pow(a[0], Zsy - 2);

	for(RG int t = 2; t <= m; t <<= 1){

		for(RG int i = 0; i < t; ++i) c[i] = b[i];

		Mul(a, b, t);

		for(RG int i = 0; i < t; ++i)

			b[i] = ((c[i] + c[i]) % Zsy - A[i] + Zsy) % Zsy;

	}

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) printf("%d ", b[i]);

	return puts(""), 0;

}

多项式除法

已知$n$次多项式$A(x)$和$m$次多项式$B(x)$，$n>m$

求$A(x)$除以$B(x)$的商$C(x)$及余式$D(x)$

也就是

\[A(x)=B(x)C(x)+D(x)
\]

\[A(\frac{1}{x})=B(\frac{1}{x})C(\frac{1}{x})+D(\frac{1}{x})
\]

\[x^nA(\frac{1}{x})=(x^mB(\frac{1}{x}))(x^{n-m}C(\frac{1}{x}))+x^{n-m+1}(x^{n-1}D(\frac{1}{x}))
\]

对$x^{n-m+1}$取模

\[A^R(x)=B^R(x)C^R(x)(mod \ x^{n-m+1})
\]

$R$表示把系数倒置，即$swap$前后

那么可以多项式求逆，再相乘得到$C^R(x)$

然后去掉$R$带入原式相乘再相减得到$D(x)$

# include <bits/stdc++.h>

# define IL inline

# define RG register

# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;

IL int Input(){

	RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();

	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;

	for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);

	return x * z;

}

const int mod(998244353);

const int phi(998244352);

const int maxn(8e5 + 5);

const int g(3);

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){

	RG ll ret = 1;

	for(; y; y >>= 1, x = x * x % mod)

		if(y & 1) ret = ret * x % mod;

	return ret;

}

int x[maxn], y[maxn], z[maxn], s[maxn], c[maxn], n, m, a[maxn], b[maxn], r[maxn], len;

IL void NTT(RG int *p, RG int m, RG int opt){

	RG int l = 0, n = 1;

	for(; n < m; n <<= 1) ++l;

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) if(r[i] < i) swap(p[r[i]], p[i]);

	for(RG int i = 1; i < n; i <<= 1){

		RG int wn = Pow(g, phi / (i << 1));

		if(opt == -1) wn = Pow(wn, mod - 2);

		for(RG int j = 0, t = i << 1; j < n; j += t)

			for(RG int k = 0, w = 1; k < i; ++k, w = 1LL * w * wn % mod){

				RG int x = p[j + k], y = 1LL * w * p[j + k + i] % mod;

				p[j + k] = (x + y) % mod, p[j + k + i] = (x - y + mod) % mod;

			}

		}

	if(opt == -1){

		RG int inv = Pow(n, mod - 2);

		for(RG int i = 0; i < n; ++i) p[i] = 1LL * p[i] * inv % mod;

	}

}

IL void Inv(RG int *p, RG int *q, RG int num){

	if(num == 1){

		q[0] = Pow(p[0], mod - 2);

		return;

	}

	Inv(p, q, num >> 1);

	for(RG int i = 0; i < num; ++i) a[i] = p[i], b[i] = q[i];

	RG int l = num << 1;

	NTT(a, l, 1), NTT(b, l, 1);

	for(RG int i = 0; i < l; ++i) a[i] = 1LL * a[i] * b[i] % mod * b[i] % mod;

	NTT(a, l, -1);

	for(RG int i = 0; i < num; ++i) q[i] = ((2 * q[i] - a[i]) % mod + mod) % mod;

	for(RG int i = 0; i < l; ++i) a[i] = b[i] = 0;

}

int main(){

	n = Input(), m = Input();

	for(RG int i = 0; i <= n; ++i) y[i] = Input();

	for(RG int i = 0; i <= m; ++i) x[i] = Input();

	reverse(x, x + m + 1), reverse(y, y + n + 1);

	for(RG int i = 0; i <= n - m; ++i) s[i] = x[i];

	for(len = 1; len <= n - m; len <<= 1);

	Inv(s, z, len);

	for(len = 1; len <= (n - m) << 1; len <<= 1);

	for(RG int i = 0; i <= n - m; ++i) a[i] = y[i];

	for(RG int i = 0; i <= n - m; ++i) b[i] = z[i];

	len <<= 1;

	NTT(a, len, 1), NTT(b, len, 1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) b[i] = 1LL * b[i] * a[i] % mod;

	NTT(b, len, -1), reverse(b, b + n - m + 1);

	for(RG int i = 0; i <= n - m; ++i) c[i] = b[i], printf("%d ", c[i]);

	puts(""), reverse(y, y + n + 1), reverse(x, x + m + 1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) a[i] = b[i] = 0;

	for(len = 1; len <= n; len <<= 1);

	for(RG int i = 0; i <= n; ++i) a[i] = x[i];

	for(RG int i = 0; i <= n - m; ++i) b[i] = c[i];

	NTT(a, len, 1), NTT(b, len, 1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) a[i] = 1LL * a[i] * b[i] % mod;

	NTT(a, len, -1);

	for(RG int i = 0; i < m; ++i) y[i] = (y[i] - a[i] + mod) % mod, printf("%d ", y[i]);

	return 0;

}

多项式开方

给定$B(x)$，求$A(x)$使$A^2(x)=B(x)$

写成

\[A^2(x)=B(x) (mod \ x^n)
\]

然后

\[A^2(x)=B(x)(mod \ x^1)
\]

是可以求的，好像是什么二次剩余

留坑在这里以后补

考虑求

\[A^2(x)=B(x)(mod \ x^{2t})
\]

令

\[C^2(x)=B(x)(mod \ x^t)
\]

那么

\[(A^2(x)-C^2(x))^2=0(mod \ x^{2t})
\]

\[A^4(x)-2A^2(x)C^2(x)+C^$(x)=0(mod \ x^{2t})
\]

\[A^2(x)=\frac{A^4(x)+C^4(x)}{2C^2(x)}(mod \ x^{2t})
\]

\[2A^2(x)=\frac{A^4(x)+2C^2(x)A^2(x)+C^4(x)}{2C^2(x)}(mod \ x^{2t})
\]

\[A^2(x)=\frac{(A^2(x)+C^2(x))^2}{(2C(x))^2}(mod \ x^{2t})
\]

\[A(x)=\frac{B(x)+C^2(x)}{2C(x)}(mod \ x^{2t})
\]

同样的还是倍增求

多项式ln

设$B(x)=ln(A(x))$

同时求导

就是

\[B'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}
\]

那么多项式求导，然后多项式求逆，然后多项式积分就好了

多项式exp

设$B(x)=e^{A(x)}$

那么

\[ln(B(x))=A(x)
\]

牛顿迭代

得

\[B(x)(mod\ 2^{t+1})=B(x)(mod\ 2^t)(1-ln(B(x)(mod\ 2^t))+A(x))
\]

多项式求幂

设$B(x)=A^k(x)$

那么$ln(B(x))=kln(A(x))$

然后就是求$ln$然后$exp$就好了

模板！！！

COGS2189. [HZOI 2015] 帕秋莉的超级多项式

# include <bits/stdc++.h>

# define RG register

# define IL inline

# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long ll;

IL int Input(){

    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();

    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;

    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);

    return x * z;

}

const int maxn(8e5 + 5);

const int mod(998244353);

const int phi(998244352);

const int inv2(499122177);

const int g(3);

int a[maxn], b[maxn], c[maxn], d[maxn], r[maxn];

IL int Pow(RG ll x, RG ll y){

	RG ll ret = 1;

	for(; y; y >>= 1, x = x * x % mod)

		if(y & 1) ret = ret * x % mod;

	return ret;

}

IL void NTT(RG int *p, RG int m, RG int opt){

	RG int n = 1, l = 0;

	for(; n < m; n <<= 1) ++l;

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));

	for(RG int i = 0; i < n; ++i) if(r[i] < i) swap(p[i], p[r[i]]);

	for(RG int i = 1; i < n; i <<= 1){

		RG int t = i << 1, wn = Pow(g, phi / t);

		if(opt == -1) wn = Pow(wn, mod - 2);

		for(RG int j = 0; j < n; j += t)

			for(RG int k = 0, w = 1; k < i; ++k, w = 1LL * w * wn % mod){

				RG int x = p[k + j], y = 1LL * w * p[k + j + i] % mod;

				p[k + j] = (x + y) % mod, p[k + j + i] = (x - y + mod) % mod;

			}

	}

	if(opt == -1){

		RG int inv = Pow(n, mod - 2);

		for(RG int i = 0; i < n; ++i) p[i] = 1LL * p[i] * inv % mod;

	}

}

IL void Inv(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	if(len == 1){

		q[0] = Pow(p[0], mod - 2);

		return;

	}

	Inv(p, q, len >> 1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) a[i] = p[i], b[i] = q[i];

	RG int tmp = len << 1;

	NTT(a, tmp, 1), NTT(b, tmp, 1);

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) a[i] = 1LL * a[i] * b[i] % mod * b[i] % mod;

	NTT(a, tmp, -1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) q[i] = ((2 * q[i] - a[i]) % mod + mod) % mod;

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) a[i] = b[i] = 0;

}

IL void Sqrt(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	if(len == 1){

		q[0] = sqrt(p[0]); //???

		return;

	}

	Sqrt(p, q, len >> 1), Inv(q, c, len);

	RG int tmp = len << 1;

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) a[i] = p[i];

	NTT(a, tmp, 1), NTT(c, tmp, 1);

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) a[i] = 1LL * a[i] * c[i] % mod;

	NTT(a, tmp, -1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) q[i] = 1LL * (q[i] + a[i]) % mod * inv2 % mod;

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) a[i] = c[i] = 0;

}

IL void ICalc(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	q[len - 1] = 0;

	for(RG int i = 1; i < len; ++i) q[i - 1] = 1LL * p[i] * i % mod;

}

IL void Calc(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	q[0] = 0;

	for(RG int i = 1; i < len; ++i) q[i] = 1LL * Pow(i, mod - 2) * p[i - 1] % mod;

}

IL void Ln(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	Inv(p, c, len), ICalc(p, a, len);

	RG int tmp = len << 1;

	NTT(c, tmp, 1), NTT(a, tmp, 1);

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) c[i] = 1LL * c[i] * a[i] % mod;

	NTT(c, tmp, -1), Calc(c, q, len);

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) a[i] = c[i] = 0;

}

IL void Exp(RG int *p, RG int *q, RG int len){

	if(len == 1){

		q[0] = 1;

		return;

	}

	Exp(p, q, len >> 1), Ln(q, b, len);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) b[i] = (mod - b[i] + p[i]) % mod, c[i] = q[i];

	b[0] = (b[0] + 1) % mod;

	RG int tmp = len << 1;

	NTT(b, tmp, 1), NTT(c, tmp, 1);

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) b[i] = 1LL * b[i] * c[i] % mod;

	NTT(b, tmp, -1);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) q[i] = b[i];

	for(RG int i = 0; i < tmp; ++i) b[i] = c[i] = 0;

}

IL void CalcPow(RG int *p, RG int *q, RG int len, RG int y){

	Ln(p, d, len);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) d[i] = 1LL * d[i] * y % mod;

	Exp(d, q, len);

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) d[i] = 0;

}

int f[maxn], h[maxn], n, k, len;

IL void Record(){

	for(RG int i = 0; i < len; ++i) f[i] = h[i], h[i] = 0;

}

int main(){

	freopen("polynomial.in", "r", stdin);

	freopen("polynomial.out", "w", stdout);

	n = Input() - 1, k = Input();

	for(RG int i = 0; i <= n; ++i) f[i] = Input();

	for(len = 1; len <= n; len <<= 1);

	Sqrt(f, h, len), Record();

	Inv(f, h, len), Record();

	Calc(f, h, n + 1), Record();

	Exp(f, h, len), Record();

	Inv(f, h, len), Record();

	f[0] = (f[0] + 1) % mod;

	Ln(f, h, len), Record();

	f[0] = (f[0] + 1) % mod;

	CalcPow(f, h, len, k), Record();

	ICalc(f, h, n + 1);

	for(RG int i = 0; i <= n; ++i) printf("%d ", h[i]);

    return 0;

}

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牛顿迭代，多项式求逆，除法，开方，exp，ln，求幂

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