【BZOJ3529】【莫比乌斯反演 + 树状数组】[Sdoi2014]数表

Description

有一张N×m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =礼，1 < =j < =m）的数值为
能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

Input

输入包含多组数据。
    输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

Output

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2
4 4 3
10 10 5

Sample Output

20
148

HINT

1 < =N．m < =10^5  ， 1 < =Q < =2×10^4

Source

Round 1 Day 1

【分析】

其实是个比较水的题目。

 $\sum\limits_{i <  = n\ {\rm{ j <  = m}}}^{} { F(gcd(i,j))} $其中gcd(i,j) <= a，F(i)，为i的因子和。

我们可以将公式变形,先忽略gcd(i, j) <= a这个条件。

$\sum\limits_{i = 1}^{\min (n,m)} {F(i) \times num(i)} $      num(i)为i在 gcd(i,j) (i <=n, j <= m)中出现的次数。

易得：

$num(i) = \sum\limits_{i|d} {\mu (\frac{d}{i}) \times \left\lfloor {\frac{n}{d}} \right\rfloor }  \times \left\lfloor {\frac{m}{d}} \right\rfloor $

然后原式可以化为:

$\sum\limits_{i = 1}^{\min (n,m)} {F(i)}  \times \sum\limits_{i|d} {\mu (\frac{d}{i}) \times \left\lfloor {\frac{n}{d}} \right\rfloor }  \times \left\lfloor {\frac{m}{d}} \right\rfloor$

换元:

$\sum\limits_{d = 1}^{\min (n,m)} {\left\lfloor {\frac{m}{d}} \right\rfloor \left\lfloor {\frac{m}{d}} \right\rfloor } \sum\limits_{i|d} {F(i)\mu (\frac{d}{i})} $

然后再把$\sum\limits_{i|d} {F(i)\mu (\frac{d}{i})} $预处理出来,对询问以a为关键字排序,用树状数组记录一段的和，前面用分块，然后就可以做了。

 /*
 唐代杜牧的《遣怀》
 落魄江南载酒行，楚腰纤细掌中轻。
 十年一觉扬州梦，赢得青楼薄幸名。
 */
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <ctime>
 #include <map>
 #include <set>
 #define LOCAL
 long long MOD =  + ;
 const int MAXM =  *  + ;
 const int MAXN =  + ;
 using namespace std;
 //输入输出优化
 int read(){
     int x = , flag = ;
     char ch = getchar();
     while (ch < '' || ch >'') {if (ch == '-') flag = -; ch = getchar();}
     while (ch >= '' && ch <= '') {x = x *  + (ch - ''); ch = getchar();}
     return x * flag;
 }
 struct FF{
     int order;//order表示该num对应的gcd值
     int num;
     bool operator < (const FF &b)const{
         return num < b.num;
     }
 }F[MAXN];
 struct QUERY{
     int l, r, a, order;
     bool operator < (const QUERY &b)const{
         return a < b.a;
     }
 }q[MAXN];
 int mu[MAXN], prime[MAXN];
 int g[MAXN], C[MAXN], Q, Ans[MAXN];

 int lowbit(int x){return x & -x;}
 void add(int x, int val){
     while (x <= ){
         C[x] += val;
         x += lowbit(x);
     }
     return;
 }
 int sum(int x){
     int cnt = ;
     while (x > ){
         cnt += C[x];
         x -= lowbit(x);
     }
     return cnt;
 }
 void prepare(){
     memset(prime, , sizeof(prime));
     memset(C, , sizeof(C));

     mu[] = ;
     for (int i = ;i <= ; i++){
         if (!prime[i]){
             prime[++prime[]] = i;
             mu[i] = -;
         }
         for (int j = ; j <= prime[]; j++){
             if (i * prime[j] > ) break;
             prime[i * prime[j]] = ;
             if (i % prime[j] == ){
                 mu[i * prime[j]] = ;
                 break;
             }else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
         }
     }
     //F[i]代表i的因数和
     F[].num = F[].order = ;
     for (int i = ; i <= ; i++){
         int cnt = ;
         for (long long j = ; j * (long long)j <= (long long)i; j++){
             if (j * j == i){cnt += j; break;}
             if (i % j != ) continue;
             cnt += j + (i / j);
         }
         F[i].num = cnt;
         F[i].order = i;
     }
     sort(F + , F +  + );
     //for (int i = 1; i <= 100; i++) printf("%d\n", mu[i]);
 }
 void init(){
     scanf("%d", &Q);
     for (int i = ; i <= Q; i++){
         int l = read(), r = read(), a = read();
         q[i].l = l; q[i].r = r;
         q[i].a = a; q[i].order = i;
     }
     sort(q + , q +  + Q);
 }
 //直接回答第x个询问
 int query(int x){
     int cnt = ;
     for (int i = ; i <= min(q[x].l, q[x].r); i++){
         int t = min(q[x].l / (q[x].l / i), q[x].r / (q[x].r / i));
         cnt += (q[x].l / i) * (q[x].r / i) * (sum(t) - sum(i - ));
         i = t;
     }
     return cnt;
 }
 void work(){
     int pos = ;//表示a现在的大小
     for (int i = ; i <= Q; i++){
         while (F[pos].num <= q[i].a && pos <= ){
             for (int j = ; j * F[pos].order <= ; j++)
                 add(j * F[pos].order, F[pos].num * mu[j]);
             pos++;
         }
         Ans[q[i].order] = query(i);
     }
     for (int i = ; i <= Q; i++) printf("%d\n", Ans[i] & 0x7fffffff);
 }

 int main(){
     int T;

      prepare();
      init();
      work();
      return ;
 }
  

 

(∑k=1nakbk)2≤(∑k=1na2k)(∑k=1nb2k)