[HDU 2049] 不容易系列之(4)——考新郎 （错排问题）

不容易系列之(4)——考新郎

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

题目大意：

有N对新婚夫妇，其中所有的新娘站成一列，都盖上了红布。然后让新郎去找新娘，每个新郎只能找一个新娘，而且不能一个对一个。问其中M个新郎找错新娘的情况有多少种。

思考过程：

这其实就是一个错排问题＋排列组合问题

首先要从N个新郎当中找出M个找错的。即C（N，M）。其次是对这M组新人进行错排，为D（M）。而且两者之间是乘法原则

错排和排列组合地推公式：

由于是第一次写排列组合这块的内容，写一下如何用递推公式求 C（N，M） 和 D（M）。

（1）求C（N，M）。如果我们要从N个数当中抽出M个数，那么对于N个数当中的任何一个数来说，只有被抽到和没有被抽到两种情况。不妨设K，如果没有被抽到，则需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M 个。即C（N - 1，M）。如果K被抽到了，那么只需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M - 1 个。即C（N - 1， M - 1）

所以，C（N，M） = C（N - 1，M - 1） + C（N - 1，M）

（2）求D（N）。对于{1,2,3,……N} 这N个数，如果1在K的位置，K在1的位置，（由于K可以为剩下N - 1 个数当中任意一个，所以有N - 1 种选法）那么剩下的 N - 2 个数错排即可，为（N - 1）* D（N - 2）。如果K在1的位置，而1不在K的位置，那么把1当做K，相当于对N - 1 个数进行错排。为 （N - 1）* D（N - 1）

所以，D（N）= （N - 1）* （D（N - 1）+ D（N - 2））

代码：

/*
    错排
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<set>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#define PI acos(-1.0)
#define maxn 1000
#define INF 1<<25
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
int C[22][22];
ll D[22];
void init()
{
    for (int i = 0; i <=20; i++)
        C[i][0] = 1;
    C[1][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 20; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];

    D[1] = 0, D[2] = 1;
    for (ll i = 3; i <= 20; i++)
        D[i] = (i - 1) * (D[i - 1] + D[i - 2]);
}
int main ()
{
    init();
    int c, n ,m;
    cin>>c;
    while(c--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        ll sum;
        if (m * 2 > n) sum = C[n][n - m];
        else sum = C[n][m];
        sum *= D[m];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}