Matrix的数学原理

平移变换

旋转变换

缩放变换

错切变换

对称变换

代码验证

Matrix的数学原理

Android中,如果你用Matrix进行过图像处理,那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵,其内容如下:

Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换:

Translate           平移变换

Rotate                旋转变换

Scale                  缩放变换

Skew                  错切变换

从字面上理解,矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换,MSKEW用于处理错切变换,MTRANS用于处理平移变换,MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时,在Android的文档中,未见到用Matrix进行透视变换的相关说明,所以本文也不讨论这方面的问题。

针对每种变换,Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

set用于设置Matrix中的值。

pre是先乘,因为矩阵的乘法不满足交换律,因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

post是后乘,因为矩阵的乘法不满足交换律,因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

除平移变换(Translate)外,旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行,如果不指定,在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成,因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

一、 平移变换

假定有一个点的坐标是 ,将其移动到 ,再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为:

如下图所示:

不难知道:

如果用矩阵来表示的话,就可以写成:

二、 旋转变换

2.1    围绕坐标原点旋转:

假定有一个点 ,相对坐标原点顺时针旋转后的情形,同时假定P点离坐标原点的距离为r,如下图:

那么,

如果用矩阵,就可以表示为:

2.2    围绕某个点旋转

如果是围绕某个点顺时针旋转,那么可以用矩阵表示为:

可以化为:

很显然,

1.

是将坐标原点移动到点后, 的新坐标。

2.

是将上一步变换后的,围绕新的坐标原点顺时针旋转 。

3.

经过上一步旋转变换后,再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以,围绕某一点进行旋转变换,可以分成3个步骤,即首先将坐标原点移至该点,然后围绕新的坐标原点进行旋转变换,再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、 缩放变换

理论上而言,一个点是不存在什么缩放变换的,但考虑到所有图像都是由点组成,因此,如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话,那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍,即

用矩阵表示就是:

缩放变换比较好理解,就不多说了。

四、 错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并),它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变,而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移,且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换,属于等面积变换,即一个形状在错切变换的前后,其面积是相等的。

比如下图,各点的y坐标保持不变,但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变,但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点经过错切变换后得到,对于水平错切而言,应该有如下关系:

用矩阵表示就是:

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式:

同理,对于垂直错切,可以有:

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外,还可以同时进行水平、垂直错切,那么形式上就是:

五、 对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外,事实上,我们还可以利用Matrix,进行对称变换。所谓对称变换,就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如,某点 经过对称变换后得到

如果对称轴是x轴,难么,

用矩阵表示就是:

如果对称轴是y轴,那么,

用矩阵表示就是:

如果对称轴是y = x,如图:

那么,

很容易可以解得:

用矩阵表示就是:

同样的道理,如果对称轴是y = -x,那么用矩阵表示就是:

特殊地,如果对称轴是y = kx,如下图:

那么,

很容易可解得:

用矩阵表示就是:

当k = 0时,即y = 0,也就是对称轴为x轴的情况;当k趋于无穷大时,即x = 0,也就是对称轴为y轴的情况;当k =1时,即y = x,也就是对称轴为y = x的情况;当k = -1时,即y = -x,也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证,这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况,只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可,即先将坐标原点移动到(0, b),然后做上面的关于y = kx的对称变换,再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的:

需要特别注意:在实际编程中,我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的,所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西,反之亦然。也就是说,如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称,那么需使用这种转换:

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称,那么需使用这种转换:

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况,同样需要考虑这方面的问题。

第二部分 代码验证

在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下,一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况,只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片:

其尺寸为162 x 251。

每种变换的结果,请见代码之后的说明

  1. import android.app.Activity;
  2. import android.content.Context;
  3. import android.graphics.Bitmap;
  4. import android.graphics.BitmapFactory;
  5. import android.graphics.Canvas;
  6. import android.graphics.Matrix;
  7. import android.os.Bundle;
  8. import android.util.Log;
  9. import android.view.MotionEvent;
  10. import android.view.View;
  11. import android.view.Window;
  12. import android.view.WindowManager;
  13. import android.view.View.OnTouchListener;
  14. import android.widget.ImageView;
  15.  
  16. public class TestTransformMatrixActivity extends Activity
  17. implements
  18. OnTouchListener
  19. {
  20. private TransformMatrixView view;
  21. @Override
  22. public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
  23. {
  24. super.onCreate(savedInstanceState);
  25. requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);
  26. this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);
  27.  
  28. view = new TransformMatrixView(this);
  29. view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);
  30. view.setOnTouchListener(this);
  31.  
  32. setContentView(view);
  33. }
  34.  
  35. class TransformMatrixView extends ImageView
  36. {
  37. private Bitmap bitmap;
  38. private Matrix matrix;
  39. public TransformMatrixView(Context context)
  40. {
  41. super(context);
  42. bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);
  43. matrix = new Matrix();
  44. }
  45.  
  46. @Override
  47. protected void onDraw(Canvas canvas)
  48. {
  49. // 画出原图像
  50. canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);
  51. // 画出变换后的图像
  52. canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);
  53. super.onDraw(canvas);
  54. }
  55.  
  56. @Override
  57. public void setImageMatrix(Matrix matrix)
  58. {
  59. this.matrix.set(matrix);
  60. super.setImageMatrix(matrix);
  61. }
  62.  
  63. public Bitmap getImageBitmap()
  64. {
  65. return bitmap;
  66. }
  67. }
  68.  
  69. public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)
  70. {
  71. if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)
  72. {
  73. Matrix matrix = new Matrix();
  74. // 输出图像的宽度和高度(162 x 251)
  75. Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " + view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());
  76. // 1. 平移
  77. matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
  78. // 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth(),在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()
  79. view.setImageMatrix(matrix);
  80.  
  81. // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  82. float[] matrixValues = new float[9];
  83. matrix.getValues(matrixValues);
  84. for(int i = 0; i < 3; ++i)
  85. {
  86. String temp = new String();
  87. for(int j = 0; j < 3; ++j)
  88. {
  89. temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  90. }
  91. Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  92. }
  93.  
  94. // // 2. 旋转(围绕图像的中心点)
  95. // matrix.setRotate(45f, view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  96. //
  97. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  98. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
  99. // view.setImageMatrix(matrix);
  100. //
  101. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  102. // float[] matrixValues = new float[9];
  103. // matrix.getValues(matrixValues);
  104. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  105. // {
  106. // String temp = new String();
  107. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  108. // {
  109. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  110. // }
  111. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  112. // }
  113.  
  114. // // 3. 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2)
  115. // matrix.setRotate(45f);
  116. // matrix.preTranslate(-1f * view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  117. // matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  118. //
  119. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  120. // matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
  121. // view.setImageMatrix(matrix);
  122. //
  123. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  124. // float[] matrixValues = new float[9];
  125. // matrix.getValues(matrixValues);
  126. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  127. // {
  128. // String temp = new String();
  129. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  130. // {
  131. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  132. // }
  133. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  134. // }
  135.  
  136. // // 4. 缩放
  137. // matrix.setScale(2f, 2f);
  138. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  139. // float[] matrixValues = new float[9];
  140. // matrix.getValues(matrixValues);
  141. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  142. // {
  143. // String temp = new String();
  144. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  145. // {
  146. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  147. // }
  148. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  149. // }
  150. //
  151. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  152. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
  153. // view.setImageMatrix(matrix);
  154. //
  155. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  156. // matrixValues = new float[9];
  157. // matrix.getValues(matrixValues);
  158. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  159. // {
  160. // String temp = new String();
  161. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  162. // {
  163. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  164. // }
  165. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  166. // }
  167.  
  168. // // 5. 错切 - 水平
  169. // matrix.setSkew(0.5f, 0f);
  170. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  171. // float[] matrixValues = new float[9];
  172. // matrix.getValues(matrixValues);
  173. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  174. // {
  175. // String temp = new String();
  176. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  177. // {
  178. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  179. // }
  180. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  181. // }
  182. //
  183. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  184. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), 0f);
  185. // view.setImageMatrix(matrix);
  186. //
  187. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  188. // matrixValues = new float[9];
  189. // matrix.getValues(matrixValues);
  190. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  191. // {
  192. // String temp = new String();
  193. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  194. // {
  195. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  196. // }
  197. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  198. // }
  199.  
  200. // // 6. 错切 - 垂直
  201. // matrix.setSkew(0f, 0.5f);
  202. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  203. // float[] matrixValues = new float[9];
  204. // matrix.getValues(matrixValues);
  205. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  206. // {
  207. // String temp = new String();
  208. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  209. // {
  210. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  211. // }
  212. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  213. // }
  214. //
  215. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  216. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
  217. // view.setImageMatrix(matrix);
  218. //
  219. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  220. // matrixValues = new float[9];
  221. // matrix.getValues(matrixValues);
  222. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  223. // {
  224. // String temp = new String();
  225. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  226. // {
  227. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  228. // }
  229. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  230. // }
  231.  
  232. // 7. 错切 - 水平 + 垂直
  233. // matrix.setSkew(0.5f, 0.5f);
  234. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  235. // float[] matrixValues = new float[9];
  236. // matrix.getValues(matrixValues);
  237. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  238. // {
  239. // String temp = new String();
  240. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  241. // {
  242. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  243. // }
  244. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  245. // }
  246. //
  247. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  248. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
  249. // view.setImageMatrix(matrix);
  250. //
  251. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  252. // matrixValues = new float[9];
  253. // matrix.getValues(matrixValues);
  254. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  255. // {
  256. // String temp = new String();
  257. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  258. // {
  259. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  260. // }
  261. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  262. // }
  263.  
  264. // // 8. 对称 (水平对称)
  265. // float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  266. // matrix.setValues(matrix_values);
  267. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  268. // float[] matrixValues = new float[9];
  269. // matrix.getValues(matrixValues);
  270. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  271. // {
  272. // String temp = new String();
  273. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  274. // {
  275. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  276. // }
  277. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  278. // }
  279. //
  280. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  281. // matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight() * 2f);
  282. // view.setImageMatrix(matrix);
  283. //
  284. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  285. // matrixValues = new float[9];
  286. // matrix.getValues(matrixValues);
  287. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  288. // {
  289. // String temp = new String();
  290. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  291. // {
  292. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  293. // }
  294. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  295. // }
  296.  
  297. // // 9. 对称 - 垂直
  298. // float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  299. // matrix.setValues(matrix_values);
  300. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  301. // float[] matrixValues = new float[9];
  302. // matrix.getValues(matrixValues);
  303. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  304. // {
  305. // String temp = new String();
  306. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  307. // {
  308. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  309. // }
  310. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  311. // }
  312. //
  313. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  314. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 2f, 0f);
  315. // view.setImageMatrix(matrix);
  316. //
  317. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  318. // matrixValues = new float[9];
  319. // matrix.getValues(matrixValues);
  320. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  321. // {
  322. // String temp = new String();
  323. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  324. // {
  325. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  326. // }
  327. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  328. // }
  329.  
  330. // // 10. 对称(对称轴为直线y = x)
  331. // float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  332. // matrix.setValues(matrix_values);
  333. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  334. // float[] matrixValues = new float[9];
  335. // matrix.getValues(matrixValues);
  336. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  337. // {
  338. // String temp = new String();
  339. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  340. // {
  341. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  342. // }
  343. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  344. // }
  345. //
  346. // // 做下面的平移变换,纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  347. // matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth(),
  348. // view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth());
  349. // view.setImageMatrix(matrix);
  350. //
  351. // // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  352. // matrixValues = new float[9];
  353. // matrix.getValues(matrixValues);
  354. // for(int i = 0; i < 3; ++i)
  355. // {
  356. // String temp = new String();
  357. // for(int j = 0; j < 3; ++j)
  358. // {
  359. // temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  360. // }
  361. // Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  362. // }
  363.  
  364. view.invalidate();
  365. }
  366. return true;
  367. }
  368. }

下面给出上述代码中,各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

1.     平移

输出的结果:

请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形,考察上述矩阵的正确性。

2.     旋转(围绕图像的中心点)

输出的结果:

它实际上是

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式,

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

所产生的转换矩阵就是:

而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵:

关于post是左乘这一点,我们在前面的理论部分曾经提及过,后面我们还会专门讨论这个问题。

所以它实际上就是:

出去计算上的精度误差,我们可以看到我们计算出来的结果,和程序直接输出的结果是一致的。

3.     旋转(围绕坐标原点旋转,在加上两次平移,效果同2)

根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释,不难知道:

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

等价于

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是:

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是:

由于是preTranslate,是先乘,也就是右乘,即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是:

这次由于是postTranslate,是后乘,也就是左乘,即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

所以综合起来,

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

对应的矩阵就是:

这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的:

因此,此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

4.     缩放变换

程序所输出的两个矩阵分别是:

其中第二个矩阵,其实是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法,自行验证结果。

5.     错切变换(水平错切)

代码所输出的两个矩阵分别是:

其中,第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

6.     错切变换(垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是:

其中,第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

7.     错切变换(水平+垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是:

其中,后者是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

8.     对称变换(水平对称)

代码所输出的两个各矩阵分别是:

其中,后者是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

9.     对称变换(垂直对称)

代码所输出的两个矩阵分别是:

其中,后者是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

10.   对称变换(对称轴为直线y = x)

代码所输出的两个矩阵分别是:

其中,后者是下面两个矩阵相乘的结果:

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法,自行验证结果。

11.   关于先乘和后乘的问题

由于矩阵的乘法运算不满足交换律,我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题,即先乘就是矩阵运算中右乘,后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的,左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例:

越靠近原图像中像素的矩阵,越先乘,越远离原图像中像素的矩阵,越后乘。事实上,图像处理时,矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘),越先运算(先乘),反之亦然。

当然,在实际中,如果首先指定了一个matrix,比如我们先setRotate(),即指定了上面变换矩阵中,中间的那个矩阵,那么后续的矩阵到底是pre还是post运算,都是相对这个中间矩阵而言的。

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