BZOJ 2432 兔农

Description

农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。

问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？

聪明的你可能已经发现，第\(n\)个月的兔子数正好是第\(n\)个\(Fibonacci\)(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第\(i+2\)个月的兔子数等于第\(i\)个月的兔子数加上第\(i+1\)个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：

\(1\;1\;2\;3\;5\;8\;13\;21\;34 \cdots\)

栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。

每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足\(k\)对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。

我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当\(k=7\)时，前几个月的兔子数依次为：

\(1\;1\;2\;3\;5\;7\;12\;19\;31\;49\;80 \cdots\)

给定\(n\)，你能帮助栋栋计算第\(n\)个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第\(n\)个月的兔子对数除\(p\)的余数即可。

Input

输入一行，包含三个正整数\(n, k, p\)。

Output

输出一行，包含一个整数，表示栋栋第\(n\)个月的兔子对数除p的余数。

Sample Input

6 7 100

Sample Output

7

HINT

\(1 \le N \le 10^{18}\)

\(2 \le K \le 10^{6}\)

\(2 \le P \le 10^9\)

一道很好的矩阵乘法的题目，综合性感觉蛮强的。

以\(k=7\)为例，考虑\(f[i]%k\)组成的序列:

1,1,2,3,5,0,

5,5,3,0,

3,3,6,2,0,

2,2,4,6,3,2,5,0,5,5,3,0,

3,3,6,2,0,

\(\cdots\)

把减\(1\)得\(0\)的位置标出，并以这些\(0\)为界分段，可以发现：

①每段开头必为相同两数，它恰是上一段的最末一位非\(0\)数；由于总共只有\(k-1\)种余数，所以不超过\(k\)段就会出现循环（如果有的话），比如上面\(k=7\)时的第\(3,4\)段就是循环节。

②记斐波那契数列为\(fib[i]\)。假如某段段首数字为\(x\)，那么这一段内第i个数即为\(x \times fib[i]%k\)。若记这一段长度为\(len\)，则有\(x \times fib[len] \equiv 1(mod k)\)。

现在我们试图找到整个数列的循环结构：根据上式，①求x的逆元得到\(fib[len]\)，②由\(fib[len]\)得知\(len\)，③用\(x \times fib[len-1]%k\)算出下一段的段首，重复操作直到发现循环（或者发现这一段永远不终止）。

至于具体实现：①扩欧或者欧拉定理②预处理\(indfib[y]\)数组，表示斐波那契数列中模\(k\)余\(y\)的数第一次出现的下标（开头的两个1不算）③预处理\(fib[i]\)模\(k\)的值。有一个结论：斐波那契数列模\(k\)后一定是0,1,1开头的纯循环，而且这个循环节的长度$ \le 6k\(（不知具体怎么证。。），所以只需暴力算\)fib\(数组并同时记录\)indfib[]\(，发现循环即停止。
注意，假如第①步不存在逆元，或者第②步不存在符合的\)len$，那么这一段将永远不会终止（比如k=8时就是这样），那么整个数列就不存在循环了（可以视作最后一段的长度为无穷大）。

接下来考虑如何用矩阵乘法计算\(f[n]%p\)。

两个重要矩乘：

分别记这两个\(3 \times 3\)矩阵为\(A,B\)。令初始矩阵为，通过对其不断右乘\(A\)和\(B\)便能实现累加、减\(1\)两种操作。对于分出的每一段算出一个矩阵\(A^{len} \times B\)，表示这一段的“效果”。

接下来是喜闻乐见的分类讨论时间：假如整个数列是循环的，判断第n项是否在混循环的那部分里，若是则直接把前面几段乘起来，n所在这一段的零头直接用A的次幂算；若不是则先把混循环全部乘起来，然后把循环节全部乘起来，算出循环次数再快速幂，然后再像刚才一样算零头乘上去。若数列不循环倒方便些，也与上面类似，不多说了；如果长度无限，直接矩乘累加即可。

上述内容引自http://jcvb.is-programmer.com/posts/39528.html。

最后贴一份自己的代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define maxn (1000010)
ll n,K,p,fib[10000010],len[maxn],indfib[maxn],inv[maxn];
bool vis[maxn];

struct Matrix
{
	ll a,b; ll s[4][4];
	Matrix () { memset(s,0,sizeof(s)); }
	friend inline Matrix operator * (const Matrix &x,const Matrix &y)
	{
		Matrix z; z.a = x.a; z.b = y.b;
		for (ll i = 1;i <= z.a;++i)
			for (ll j = 1;j <= z.b;++j)
				for (ll k = 1;k <= x.b;++k)
					(z.s[i][j] += x.s[i][k]*y.s[k][j]%p)%=p;
		return z;
	}
}save[maxn];

inline ll exgcd(ll a,ll b,ll c)
{
	if (a == 0) return -1;
	else if (c % a == 0) return c/a;
	ll t = exgcd(b % a,a,((-c % a)+a)%a);
	if (t == -1) return -1;
	return (t*b+c)/a;
}

inline Matrix qsm(Matrix x,ll y)
{
	Matrix ret;
	ret.a = ret.b = x.a; ret.s[1][1] = ret.s[2][2] = ret.s[3][3] = 1;
	for (;y;y >>= 1,x = x*x)
		if (y & 1) ret = ret*x;
	return ret;
}

int main()
{
	freopen("2432.in","r",stdin);
	freopen("2432.out","w",stdout);
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&K,&p);
	fib[1] = fib[2] = 1;
	for (ll i = 3;;++i)
	{
		fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
		if (fib[i] >= K) fib[i] -= K;
		if (!indfib[fib[i]]) indfib[fib[i]] = i;
		if (fib[i] == 1&&fib[i-1] == 1) break;
	}
	Matrix ans,mul,dec; bool sign = false;
	ans.a = 1; ans.b = 3; ans.s[1][1] = ans.s[1][3] = 1;
	mul.a = mul.b = 3; mul.s[1][2] = mul.s[2][1] = mul.s[2][2] = mul.s[3][3] = 1;
	dec.a = dec.b = 3; dec.s[1][1] = dec.s[2][2] = dec.s[3][3] = 1; dec.s[3][2] = -1;
	for (ll t = 1;n;)
	{
		if (!inv[t]) inv[t] = exgcd(t,K,1);
		if (inv[t] == -1) { ans = ans*qsm(mul,n); n = 0; }
		else
		{
			if (!vis[t]||sign)
			{
				vis[t] = true;
				if (!indfib[inv[t]])
				{
					ans = ans*qsm(mul,n); n = 0;
				}
				else
				{
					len[t] = indfib[inv[t]];
					if (n >= len[t])
					{
						n -= len[t];
						save[t] = qsm(mul,len[t])*dec;
						ans = ans*save[t];
						(t *= fib[len[t]-1])%=K;
					}
					else { ans = ans*qsm(mul,n); n = 0; }
				}
			}
			else
			{
				ll cnt = 0; Matrix ret; ret.a = ret.b = 3; ret.s[1][1] = ret.s[2][2] = ret.s[3][3] = 1;
				for (ll i = t*fib[len[t]-1]%K;i != t;(i *= fib[len[i]-1])%=K)
					cnt += len[i],ret = ret * save[i];
				cnt += len[t],ret = save[t]*ret;
				ans = ans*qsm(ret,n/cnt); n %= cnt;
				sign = true;
			}
		}
	}
	printf("%lld",(ans.s[1][2]+p)%p);
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}