概述

堆是一颗完全二叉树。分为大根堆(父节点>=所有的子节点)和小根堆(父节点<=所有的子节点)。

插入、删除堆顶都是O(logN),查询最值是O(1)。


完全二叉树(Complete Binary Tree)

若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有N个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2,并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上,则此二叉树成为完全二叉树。

完全二叉树的特性:对于结点t,t/2为它的父节点,2*t、2*t+1为它的子节点。所以可以直接用一个线性的数组存放堆。


堆的基本操作:(以小根堆为例)

1.堆元素上移:和自己的父节点比较,若满足条件则交换。再次比较。

void up(int x)
{
int p,q;
p=x;
while (p/>=)
{
q=p/;
if (a[q]>a[p])
swap(&a[p],&a[q]);
else
break;
p=q;
}
}

2.堆元素下移:和自己的子节点中更满足条件(更大or更小)的一个比较,若满足条件则交换。再次比较。

void down(int x)
{
int p,q;
p=x;
while (p*<=n)
{
q=*p;
if ((a[q+]<a[q])&&(q+<=n)) q++;
if (a[q]<a[p])
swap(&a[q],&a[p]);
else
break;
p=q;
}
}

3.建堆:

    cin>>n;
for (i=;i<=n;i++)
cin>>a[i];
for (i=n/;i>=;i--) //
down(i);
注:对1处语句的解释:
. a[(n/)+]----a[n]的元素都是堆上的叶子节点,无需down(i)操作。
. 倒序循环是因为,对于一个节点i,只有等它的子节点都完成了down操作之后,才可以对它进行操作。即保证循环到i时,i+、i+、…..、n都是一个最大\最小堆的根。

4.删除元素(删除堆顶的最值元素)

用堆最末端(二叉树的最右下角)的元素替换堆顶元素,n--,然后对其进行down(i)操作

5.添加元素

将元素添加到堆的最末端(二叉树的最右下角),n++,然后对其进行up(i)操作

6. 删除任意一个点(事先要保证堆中没有重复元素)

首先在堆中找到该元素的位置(可以提前用hashmap记录)

用堆最末端(二叉树的最右下角)的元素替换要删除的元素,n--。然后对其进行up(i)或者down(i)操作,根据元素的大小而定。

注意:一个已从小到大排好序的数组是一个小根堆,但一个小根堆数组里面的元素不一定排好序   (source:算法导论P153    Exercise6.1-5、6.1-6)



题目

https://www.jiuzhang.com/solution/heapify/

基于 Siftup 的版本    O(NlogN)

public class Solution {
/**
* @param A: Given an integer array
* @return: void
*/
private void siftup(int[] A, int k) {
while (k != 0) {
int father = (k - 1) / 2;
if (A[k] > A[father]) {
break;
}
int temp = A[k];
A[k] = A[father];
A[father] = temp; k = father;
}
} public void heapify(int[] A) {
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
siftup(A, i);
}
}
}

算法思路:
    对于每个元素A[i],比较A[i]和它的父亲结点的大小,如果小于父亲结点,则与父亲结点交换。
    交换后再和新的父亲比较,重复上述操作,直至该点的值大于父亲。

时间复杂度分析
    对于每个元素都要遍历一遍,这部分是 O(n)。
    每处理一个元素时,最多需要向根部方向交换 logn 次。

因此总的时间复杂度是 O(nlogn)

基于 Siftdown 的版本    O(N)

public class Solution {
/**
* @param A: Given an integer array
* @return: void
*/
private void siftdown(int[] A, int k) {
while (k * 2 + 1 < A.length) {
int son = k * 2 + 1; // A[i] 的左儿子下标。
if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2])
son = k * 2 + 2; // 选择两个儿子中较小的。
if (A[son] >= A[k])
break; int temp = A[son];
A[son] = A[k];
A[k] = temp;
k = son;
}
} public void heapify(int[] A) {
for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
siftdown(A, i);
}
}
}

算法思路:
    初始选择最接近叶子的一个父结点,与其两个儿子中较小的一个比较,若大于儿子,则与儿子交换。
    交换后再与新的儿子比较并交换,直至没有儿子。
    再选择较浅深度的父亲结点,重复上述步骤。

时间复杂度分析
这个版本的算法,乍一看也是 O(nlogn), 但是我们仔细分析一下,算法从第 n/2 个数开始,倒过来进行 siftdown。也就是说,相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作,倒数第二层的节点大约有 n/4 个, 这 n/4 个数,最多 siftdown 1次就到底了,所以这一层的时间复杂度耗费是 O(n/4),然后倒数第三层差不多 n/8 个点,最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3),倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为:

T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

然后我们用 2T - T 得到:

2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ...
T(n)      = O(n/4)     + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
                       = O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
                       = O(n)

因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)


堆的应用

  1. 堆排序

原理:对输入数据建堆,然后每次输出堆顶元素,然后删除堆顶元素。循环n次即可输出完排序好的n个数。

从小到大排序选小根堆,从大到小排序选大根堆。

 #include <iostream>
using namespace std;
int a[];
int n,i,tx; void swap(int *a,int *b)
{
int tmp;
tmp=*a;
*a=*b;
*b=tmp;
} void down(int x)
{
int p,q;
p=x;
while (p*<=n)
{
q=*p;
if ((a[q+]<a[q])&&(q+<=n)) q++;
if (a[q]<a[p])
swap(&a[q],&a[p]);
else
break;
p=q;
}
} int main()
{
cin>>n;
for (i=;i<=n;i++)
cin>>a[i]; for (i=n/;i>=;i--)
down(i); tx=n;
for (i=;i<=tx;i++)
{
cout<<a[]<<" ";
a[]=a[n];
n--;
down();
}
cout<<endl;
}

补充:STL里的堆操作

首先,需要#include <algorithm>

STL里支持4种堆操作:

void  make_heap(start_pointer,end_pointer,comp)

在指定范围的数组上建堆

void  pop_heap(start_pointer,end_pointer,comp)

删除堆顶元素,然后重建堆

void  push_heap(start_pointer,end_pointer,comp)

假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆,然后将a[end]作为要入堆的新元素加进去,使得a[start]……a[end]是一个堆

void  sort_heap(start_pointer,end_pointer,comp)

假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆,然后对其中的序列进行排序(排序后就不是一个有效堆了>_<)

注释:start_pointer、end_pointer分别表示起始位置、终止位置的指针

(调用方法示例:make_heap(&number[0],&number[12],cmp); )

cmp为比较函数(若不指定,默认建大根堆)

Sample from MSDN_1996:

Program Output is:(大根堆)

Original array:

Numbers { 4 10 70 10 30 69 96 100  }

After calling make_heap

Numbers { 100 30 96 10 4 69 70 10  }

After calling sort_heap

Numbers { 4 10 10 30 69 70 96 100  }

After calling push_heap and make_heap: (事先加入了一个新元素7)

Numbers { 100 69 96 30 4 70 10 10 7  }

After calling pop_heap

Numbers { 96 69 70 30 4 7 10 10  100  }   (此时100已不再属于堆)

 #include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std; bool comp(int a,int b) //用于建小根堆的比较函数
{
return a>b;
} int main()
{
int i;
int a[]={,,,,,,,,};
//a[1..8]
for (i=;i<=;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
//输出原数组:30 96 10 4 69 70 10 100
make_heap(&a[],&a[]); //注意:必须多留一个空,我也不知道为什么… >_<
for (i=;i<=;i++) //比如说,对a[1…8]操作就得写成(&a[1],&a[9])
cout<<a[i]<<" "; //我知道为什么啦:^_^
cout<<endl; //在C语言中,数组a[1..8]这一区段的开头是a[1],但结尾是a[9]
//而STL中要求调用的就是数组开头和结尾,所以要多一位。
//比如说有long a[1000],那么数组区段其实是a[0..999]
//(因为C是从0开始计),而数组结尾就是a[1000],尽管a[1000]实际上无意义。
//输出大根堆[1..8]:100 96 70 30 69 10 10 4
make_heap(&a[],&a[],comp);
for (i=;i<=;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
//输出小根堆[1..8]:4 30 10 96 9 10 70 100
a[]=;
push_heap(&a[],&a[],comp);
for (i=;i<=;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
//a[1..9]
//插入一个元素8,然后输出小根堆[1..9]:4 8 10 30 69 10 70 100 96
pop_heap(&a[],&a[],comp);
for (i=;i<=;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
//a[1..8]
//删除堆顶元素4,然后输出小根堆[1..8]:8 30 10 96 69 10 70 100 4
//(4在堆外,已经不是堆里面的元素了)
}

总结:堆相关题目的核心算法

Solution:根据要求建堆,然后取堆顶作为答案输出,然后由堆顶下一步扩展出新元素再次入堆


题目:

POJ2442

采用以下算法都可以实现在m个数中取前n小的数:

快速排序:最慢     手写堆:快     用STL堆:目测还能再快一点

另外注意一个问题:过大的数组也会影响运行速度

渣渣表示这种水题竟然写了三种版本才过….. >_<

Ver1.0:用快排,最好想的算法

本来算法就不快,空间复杂度O(n*n)又太大,也影响速度。

设目前已经处理到了第i列,那么将第i列中的元素与第i+1列中的元素分别相加,得到了n*n个元素。将这些元素记录到一个数组中,快排取前n小的n个数,并记录到数组heap[1..n]中。再用heap数组中的元素与第i+2列操作,……直到处理完m列输出heap数组即可。

这么渣渣的算法当然TLE啦……→_→

Ver2.0:用手动堆

参考http://blog.csdn.net/c0de4fun/article/details/7312831

算法快了不少,空间复杂度也降到了O(n)

不过我写的貌似有问题……WA了

Ver3.0:直接用STL堆操作

STL支持四种堆操作:新元素入堆、弹出堆顶、建堆、排序。(见 堆及其应用.docx)

首先还和刚才一样,把第一行排序后记录到a[1..n]数组中,第二行排序后记录到b[1..n]数组中。

然后,为了节省空间,我们不能再简单的将a[1..n]、b[1..n]分别相加了,而是这样:

因为b[1]一定是b[1..n]里最小的,所以先将a[1..n]+b[1]得到的这n个元素加入一个大根堆heap。然后再a[1..n]+b[2..n]分别相加,而对于这n(n-1)个元素,判断如果a[k]*b[j]小于堆顶元素heap[1],则弹出堆顶,然后将a[k]*b[j]加入堆。处理完这一行之后将heap中的n个元素从小到大记录到数组a中,再将下一行读入b[1..n]中。以此类推,直到m行处理完。

AC!^_^

POJ2051

一次AC!    ^_^

题真心不难。

首先将所有的进程读入,记录period[i]为Q_num为i的进程的周期,tm[i]为Q_num为i的进程已经运行过的次数(初始都为1)。

构造一个小根堆记录进程heap[i]=period[j]*tm[j]。一开始将所有的进程都入堆。然后取堆顶元素输出,并将堆顶元素的tm[j]++,之后再将period[j]*tm[j]再次入堆并调整。这样输出k次即可。

注意:如果在堆的调整中需要比较多个关键字(比如本题中Q_num和发生时间都是关键字),那么STL就不能用了,只能手写T^T……方法类比双关键字快速排序即可

---恢复内容结束---

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