关于gcd和exgcd的一点心得，保证看不懂（滑稽）

网上看了半天……还是没把欧几里得算法和扩展欧几里得算法给弄明白……

然后想了想自己写一篇文章好了……

参考文献：https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5914302.html

　　　　https://blog.csdn.net/sky_zdk/article/details/71023325

　　　　《算法竞赛进阶指南》（李煜东）（我不是来推销的）

ps：本文讨论范围均在整数以内

一、欧几里得算法

　　　　欧几里得算法，即辗转相除法，简称gcd，用于计算两个数的最大公约数。时间复杂度据说log n的

　　　　公式 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) ,b≠0

　　　　啥？证明？能用就行要什么证明

　　　　咳咳，让我们来严格的证明一下

　　　　证：

　　　　　　若a<b，以上等式显然成立

　　　　　　若a>=b, 设a=q*b+r,0<=r<b, 即r=a%b 。对于a，b的任意公约数d，因为d|a（ps：这个符号的意思是d是a的约数）,d|b,所以d|q*b,可得d|(a-q*b),即d|r，d也是r的约数。反之亦成立。所以，a，b的公约数集合和b，a mod b的公约数集合相同，他们的最大公约数自然也相同。

　　　　证毕

上代码（我知道你们只想要这个）

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

当然还有更装逼别致的写法

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    while(b^=a^=b^=a%=b);//先做一次取模，然后交换两个元素
    return a;
}

　　　　ps：问题就是取模太慢了，有的题目可能用更相减损法还更快……所以更相减损大法好（口胡）<---别听这家伙瞎说，时间复杂度根本不一样

二、扩展欧几里得算法

　　　　一个很厉害的东西，我看了半天没弄明白（队长好像一看就懂）

　　　　引理：裴蜀定理，一定存在ax+by=gcd（a，b）的整数解

　　　　乱证严格的证明：

　　　　　　当b=0时，gcd（a，b）=a，显然存在一对整数解x=1，y=0

　　　　　　若b！=0

　　　　　　设ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

　　　　　　又因 a%b=a-a/b*b

　　　　　　则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　　　证毕

　　　　然后递归计算就可以，当b=0时，返回x=1，y=0即可

上代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    //注意x和y必须是引用
    if(!b){x=,y=;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y,y=t-(a/b)*y;
    return d;//d是a和b的gcd，顺便求出来
}

san三、扩欧解不定方程

　　　　　　对于形如ax+by=c的方程

　　　　　　先用exgcd求出ax+by=gcd(a,b)的一组解x0,x1

　　　　　　根据裴蜀定理（上面那个），如果c%gcd(a,b)==0，此方程有解，否则无解

　　　　　　若有解

　　　　　　设d=gcd（a,b）

　　　　　　令方程两边同乘上c/d

　　　　　　则方程变为(a*c/d)x0+(b*c/d)y0=c

　　　　　　于是我们就得到了一组解了，x1=x0*c/d，y1=y0*c/d

　　　　　　然后就学不下去了orz……但问题是还没完QAQ

　　　　　　题目里面，一般不可能让你只求出一组解，一般都是要你求出最小整数解

　　　　　　保佑自己上面算出来的刚好是答案就好了，只要够欧就没问题

　　　　　　认真点

　　　　　　求最小整数解，就是把x1减小到不能减小为止，再看看上面的式子，c和d都是定值，于是我们只要考虑把x0减小到不能减小为止

　　　　　　设x0减小x，方程左边总体减小x*c/d*a，为了保证等式成立，y0增加的值y应满足x*c/d*a=y*c/d*b

　　　　　　于是x/y=(b/d) / ( a/d)

　　　　　　我们令x0不断减x(x=b/d)，直到0<=x1<x，此时的x1即为最小整数解

　　　　　　我们可以令x1=x0%x，就可以算出x1了

　　　　　　等等，真的大丈夫？

　　　　　　如果x0是负数怎么办？我们让x1+x就可以得到正数了

　　　　　　如果x是负数呢？令x=abs（x）即可

　　　　　　关于以上两点，请自行考虑（才不是因为我也不会呢）

上代码啦

d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d==)
{
    x*=c/d;
    t=b/d;
    t=abs(t);
    x=(x%t+t)%t;
    printf("%d\n",x);
}

四、解线性同余方程

　　　　这个随便提一嘴吧，因为我也不太会

　　　　　　对于ax≡c（mod p）

　　　　　　将其转化为ax+py=c

　　　　　　然后带进上面求解，一般都是要求出x的最小整数解的

emm……差不多了，就这样吧

以上