取石子游戏

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3961

Problem Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个,但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second
win".先取者胜输出"First win".
 
Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.
 
Output
先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".
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Output.
 
Sample Input
2
13
10000
0
 
Sample Output
Second win
Second win
First win
 
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为了方便,我们将n记为f[i]。

1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。

2、假设当i<=k时,结论成立。

  1. 则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。
  2. 则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。
  3. (一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])
  4. 对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。
  5. 如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。
  6. 我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,对两值作差后不难得出,后者大。
  7. 所以我们得到,x<1/2*f[k]。
  8. 即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。
  1. #include <stdio.h>
  2. #include <string.h>
  3. #include <algorithm>
  4. using namespace std;
  5.  
  6. long long int a[],len;
  7. const long long int inf = +;
  8.  
  9. int main()
  10. {
  11. int i,j;
  12. long long int n;
  13. a[] = ;
  14. a[] = ;
  15. for(i = ; i<=; i++)
  16. {
  17. a[i] = a[i-]+a[i-];
  18. if(a[i]>=inf)
  19. break;
  20. }
  21. len = i;
  22. while(~scanf("%I64d",&n),n)
  23. {
  24. int flag = ;
  25. for(i = ; i<len; i++)
  26. {
  27. if(a[i] == n)
  28. {
  29. flag = ;
  30. break;
  31. }
  32. if(a[i]>n)
  33. break;
  34. }
  35. if(flag)
  36. printf("Second win\n");
  37. else
  38. printf("First win\n");
  39. }
  40.  
  41. return ;
  42. }

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