蓝桥杯历届试题-垒色子(DP+矩阵快速幂)

一、题目

垒骰子

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」
2 1
1 2

「样例输出」
544

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 2000ms

二、思路

　　假设$d[i]$表示第$n$层以数字$i$朝上的色子摆放方案数(先不考虑四周的朝向)，那么，一开始，$d[] = {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1}$。同时，还有一个矩阵$f$，$f[i][j]$表示第$n-1$层的色子以$i$朝上、第$n$层的色子以$j$朝上是否可行。也就是说，如果数字$a$和$b$冲突，那么，$f[a][op[b]] = 0$(当然，也有$f[b][op[a]]=0$)；如果数字x和y不冲突，那么，$f[x][op[y]] = 1$(当然，也有$f[y][op[x]]=1$)。其中，$op[x]$表示与数字$x$对立的数字。如，$op[1] = 4$，整个$op$数组的值为：$op[] = \{0, 4, 5, 6, 1, 2, 3\}$。

　　由上可知(这句话其实都是忽悠人的，使语言表达起来逻辑连贯性更强而已。其实说白了就是凭感觉)，

　　当$n = 1$时，结果为$6(6种朝上的数字) * 4(每种朝上的数字周围的数字都有4种朝向) = 24$。

　　当$n > 1$时，第$2$层各面朝上的方案数为：\[d = d * f * 4^2\] \[ans = \sum\limits_{i=1}^{6}d_i % 10^9+7\]

　　第$3$层各面朝上的方案数为：\[d = d * f^2 * 4^3\] \[ans = \sum\limits_{i=1}^{6}d_i % 10^9+7\]

　　……

　　第$n$层各面朝上的方案数为：\[d = d * f^{n-1} * 4^n\] \[ans = \sum\limits_{i=1}^{6}d_i % 10^9+7\]

　   所以，只要求出$f^{n-1}$和$4^n$，那么，问题就解决了。而这可以使用(矩阵)快速幂求解。

三、源代码

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
typedef long long LL;
typedef vector<LL> vec1d;
typedef vector<vec1d> Matrix;

, , , , , , };
, , , , , , };

Matrix mul(Matrix& a, Matrix& b) {
    Matrix c(, vec1d());
    ; i < a.size(); ++i) {
        ; j < b.size(); ++j) {
            ; k < b[].size(); ++k) {
                c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix mpow(Matrix a, LL x) {
    Matrix res(, vec1d());
    ; i <= ; ++i)res[i][i] = ;
    ) {
        )res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        x >>= ;
    }
    return res;
}

LL iqow(LL a, LL x) {
    LL res = ;
    ) {
        )res = (res * a) % MOD;
        a = (a * a) % MOD;
        x >>= ;
    }
    return res;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output2.txt", "w", stdout);
#endif // ONLINE_JUDGE
    LL n, m, a, b;
    scanf("%I64d%I64d", &n, &m);
    Matrix f(, vec1d());
    ; i <= ; ++i); j <= ; ++j)f[i][j] = ;
    ; i < m; ++i) {
        scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
        f[a][op[b]] = , f[b][op[a]] = ;
    }
    )printf("24\n");
    else {
        f = mpow(f, n - );
        LL ans = ;
        ; i <= ; ++i)ans = (accumulate(f[i].begin() + , f[i].end(), 0LL) + ans) % MOD;
        printf(, n)) % MOD);
    }

    ;
}