【NOI2008】假面舞会

题目描述

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。

今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。

为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为$k (k \ge 3)$类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第$i $类面具的人才能看到戴第$i+1$ 类面具的人的编号，戴第$k $类面具的人能看到戴第$1$ 类面具的人的编号。

参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。

栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。

由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了$k \ge 3$，所以你必须将这条信息也考虑进去。

输入输出格式

输入格式

第一行包含两个整数$n$, $m$，用一个空格分隔，$n$ 表示主办方总共准备了多少个面具，$m$ 表示栋栋收集了多少条信息。接下来$m$ 行，每行为两个用空格分开的整数$a$, $b$，表示戴第$a$ 号面具的人看到了第$b$ 号面具的编号。相同的数对$a$, $b$ 在输入文件中可能出现多次。

输出格式

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少$3$ 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个$-1$。

题解

很明显我们需要考虑环和链：对于链来说无论这条链有多长，所允许的面具的个数都是任意的（注意：最小要为3）；对于一个环来说最多的面具数一定是这个环的大小，而且，当面具的个数为该环长的约数时也是符合要求的。

根据以上两点，我们就能够很轻松地想出我们的答案可以分为两类：一类是只有链的，就是最长链的长度和3了；另一类就是要考虑有环的情况，就是所有环的环长的最大公约数和大于3的最小公约数。而当最大答案都小于3的时候就是无解了。

建图技巧

我们需要Get到每个环的环长和链的链长，有下述的建图技巧：

我们可以把每条有向边$(u, v)$分成两条，一条是$(u,v)$权值为$1$，一条是$(v, u)$权值为$-1$, 而这样的两条边有什么好处呢？这样我们就可以方便求出无环图的链长和环长了。

比如说下图：

按照上面说的建图方式，我们可以得到这样的图（黑边权值为1，蓝边为-1）：

然后我们按照 $2 \Rightarrow 1 \Rightarrow 6 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5$ 的顺序遍历然后把每个点的点权记作$p_i$, 令$p_2 = 0$ 于是，我们可以得到如图所示的点权（红色数字），这样，当我们遍历到$5$时我们发现了一条边$(5, 6)$ 可以到结点 $6$ ,而 $6$ 我们已经遍历过了，证明有环，而环长就应该为 $abs(p_5 - p_6 + len（5， 6）) =abs(3 - 0 + 1) = 4 $

求链长也同理的，对于一个无环图，最长链即为$p_{max} - p_{min} + 1$

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 100005, MAXM = 1000005;

inline int gcd(int a, int b)

	{

		return !b ? a : gcd(b, a % b);

	}

int Head[MAXN], Next[MAXM << 1], To[MAXM << 1], w[MAXM << 1], edgenum;

inline void Add_edge(int from, int to, int cost)

	{

		Next[++ edgenum] = Head[from], Head[from] = edgenum, To[edgenum] = to, w[edgenum] = cost;

	}

int minn[MAXN], maxn[MAXN], p[MAXN], vis[MAXN], root;

int ans = 0;

inline void dfs(int u)

	{

		minn[root] = min(minn[root], p[u]), maxn[root] = max(maxn[root], p[u]), vis[u] = 1;

		for(int i = Head[u]; i != -1; i = Next[i])

			{

				int v = To[i];

				if(vis[v]) ans = gcd(ans, abs(p[u] - p[v] + w[i]));

				else{

					p[v] = p[u] + w[i];

					dfs(v);

				}

			}

	}

int fa[MAXN];

inline int find(int x)

	{

		return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);

	} 

int main()

{

	int n, m, ans1 = 0, ans2 = 0;

	memset(Head, -1, sizeof(Head));

	memset(minn, 0x3f, sizeof(minn));

	scanf("%d%d", &n, &m);

	for(int i = 1; i <= n; ++ i) fa[i] = i;

	int x, y;

	for(int i = 1; i <= m; ++ i)

		{

			scanf("%d%d", &x, &y);

			Add_edge(x, y, 1), Add_edge(y, x, -1);

			x = find(x), y = find(y);

			if(x != y)	fa[x] = y;

		}

	for(int i = 1; i <= n; ++ i)

		if(!vis[i])

			{

				root = find(i);

				dfs(root);

			}

	ans1 = ans;

	for(int i = 3; i <= ans1; ++ i)

		if(! (ans1 % i))

			{

				ans2 = i; break;

			}

	if(ans2 < 3) ans2 = 3;

	root = 0;

	if(ans1 == 0)

		for(int i = 1; i <= n; ++ i)

			if(fa[i] == i)

				root += maxn[i] - minn[i] + 1;

	if(ans1 == 0)	ans1 = root;

	if(ans1 < 3) ans1 = ans2 = -1;

	printf("%d %d\n", ans1, ans2);

	return 0;

}