2017 Multi-University Training Contest - Team 2 TrickGCD(组合数学)
题目大意:
给你一个序列An,然后求有多少个序列Bn
满足Bi<=Ai,且这个序列的gcd不为1
题解:
考虑这样做
枚举一个因子k,然后求出有多少个序列的gcd包含这个因子k
然后把结果容斥一下,我们会发现,这个容斥恰好就是求莫比乌斯函数
所以直接先预处理出来即可
于是k从2到n依次枚举,然后把结果乘以u(k)加到最后的答案里。
另一个问题是,如何快速求出有多少个序列呢,如果单纯的把每个数除以k然后加起来,就是n^2logn
显然会超时。
所以这里先把数存起来,然后整体来做
对于k来说,每次就枚举k,2k,3k.....m*k,然后可以得到,能包含k的数有多少个,2k的数有多少个,那么我们就可以在n/k的复杂度下统计出来有多少个序列
然后枚举k,最后就是n+n/2+...n/k = nlogn的复杂度了
(可能有更好的做法)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + ;
const int MOD = ;
typedef long long LL;
LL minpri[maxn], H[maxn], a[maxn], ans[maxn], flag[maxn];
vector<int> prime;
const int maxlen=maxn;
int mu[maxlen],prinum[maxlen], len=;
void CalPri(){
int num[maxlen];
for(int i=;i<maxlen;i++)num[i]=i;
for(int i=;i<maxlen;i++){
if(num[i]==)continue;
prinum[len++]=i;
mu[i]=-;
for(int j=*i;j<maxlen;j+=i)
num[j]=;
}
}
void Calmu(){
CalPri();
mu[]=;
for(int i=;*i<=maxlen;i++){
for(int j=;j<len&&prinum[j]*i<maxlen;j++){
if(i%prinum[j]==){
mu[prinum[j]*i]=;
break;
}
mu[prinum[j]*i]=-mu[i];
}
}
} LL mypow(LL a, LL b){
LL ANS = ;
for(; b; b >>= ){ if(b&) (ANS *= a) %= MOD; (a *= a) %= MOD; } return ANS;
} int main()
{
int T, n;
cin>>T;
Calmu();
for(int ncase = ; ncase <= T; ncase++){
scanf("%d", &n);
memset(H, , sizeof(H));
memset(ans, , sizeof(ans));
LL ANS = , Max = , Min = 1e9;
for(int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), H[a[i]]++, Max = max(Max, a[i]), Min = min(Min, a[i]);
for(int i = Max; i >= ; i--) H[i] += H[i+];
//for(int i = 1; i <= Max; i++) cout<<H[i]<<" "; cout<<endl;
for(int x = ; x <= Min; x++){
if(mu[x] == ) continue;
int tot = , lans = n;
for(int i = ; i*x <= Max; i++){
ans[tot] = lans - H[i*x];
lans = H[i*x];
tot++;
}
ans[tot] = lans;
//for(int i = 1; i <= tot; i++) cout<<ans[i]<<" "; cout<<endl;
LL temp = tot > ? : ;
for(int i = ; i <= tot; i++) (temp *= mypow(i, ans[i])) %= MOD;
(ANS += temp*(-mu[x])) %= MOD;
for(int i = ; i <= tot; i++) ans[i] = ;
}
(ANS += MOD) %= MOD;
cout<<"Case #"<<ncase<<": "<<ANS<<endl;
}
return ;
}
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