【习题集锦】全国青少年NOIP培训教材 ISBN 978-7-305-04246-1

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第一章 回溯法

找路径问题

递归代码：

procedure find(k:integer); {找第K步的可能性｝
begin
   if 到目的地 ｛表示一条路已找出｝
      then
        begin
              输出路线；
              结束探求
       end
     else
        if <=4
         then
           for i:=1 to 3 do{穷举三种可能的方向并记录下来｝
           begin
             a[k]:=i;
              find(K+1)
               end
end;

非递归代码：

begin
     a[]:=;k:= ｛确定起步的路口号及寻找的初始方向｝
   while 未到目的地 do
   begin
      while a[k] 无路可走 do ｛回溯，返回第k-路口，另找一条路｝
        begin
          k:=k-
        a[k]:=a[k]+
       end;
     k:=k+;a[k]:=;{设定从K+1个路口开始寻找的初始方向｝
   end；
   输出路线；
end；

【例1-1】全排列问题

#include "iostream"
using namespace std;
int N,a[];
bool b[];
f(int x)
{
if(x>N)
{
for(int i=;i<=N;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;}
else for(int i=;i<=N;i++)
{
    if(b[i]!=)
{
    a[x]=i;b[i]=;f(x+);b[i]=;
}}}
main()
{
    cin>>N;
    f();
}

STL解法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include <algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
int a[];
main()
{
    int n,i,j=,k;
    cin>>n;
    for(i=;i<=n;i++)
     {a[i]=n-i+;j*=i;}
    for(i=;i<=j;i++)
     {next_permutation(a+,a+n+);
      for(k=;k<=n;k++)
       cout<<"    "<<a[k];//排一次输出一次
      cout<<endl;
     }
     return ;
}

【例1-2】邮票问题

涉及到数学优化

#include<iostream>
using namespace std;
int a[],money[];
void bfs(int k,int n,int x)
{
    if(n== or k==)
    return;
    for(int i=n;i>=;i--)
    {
    x+=a[k]*i;
    n=n-i;
    money[x]=;
    bfs(k-,n,x);
    n+=i;
    x-=a[k]*i;
    }
}
main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=m;i++)
    cin>>a[i];
    bfs(m,n,);
    int temp=,maxlong=;
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        if(money[i]== and money[i+]==)
        temp++;
        else {maxlong=max(temp,maxlong);
        temp=;
        }

    }
    cout<<maxlong;
}

【例1-3】n皇后问题

#include<iostream>//个人不建议采用头文件，可能和定义的变量或名字起冲突，从而引起编译错误；
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[],b[],c[],d[];
//a数组表示的是行；
//b数组表示的是列；
//c表示的是左下到右上的对角线；
//d表示的是左上到右下的对角线；
int total;//总数:记录解的总数
int n;//输入的数，即N*N的格子，全局变量，搜索中要用
int print()
{
    if(total<=)//保证只输出前三个解，如果解超出三个就不再输出，但后面的total还需要继续叠加
    {
        for(int k=;k<=n;k++)
        cout<<a[k]<<" ";//for语句输出
        cout<<endl;
    }
    total++;//total既是总数，也是前三个排列的判断
}
void queen(int i)//搜索与回溯主体
{
    if(i>n)
    {
        print();//输出函数，自己写的
        return;
    }
    else
    {
        for(int j=;j<=n;j++)//尝试可能的位置
        {
            if((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+n]))//如果没有皇后占领，执行以下程序
            {
                a[i]=j;//标记i排是第j个
                b[j]=;//宣布占领纵列
                c[i+j]=;
                d[i-j+n]=;
                //宣布占领两条对角线
                queen(i+);//进一步搜索，下一个皇后
                b[j]=;
                c[i+j]=;
                d[i-j+n]=;
                //（回到上一步）清除标记
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;//输入N*N网格，n已在全局中定义
    queen();//第一个皇后
    cout<<total;//输出可能的总数
    return ;
}

注释：对角线d[i-j]后面必须加上一个n，因为i-j可能为负数，那么数组就会出错，所以将整体向右偏移n个单位（坐标偏移不会影响我们需要达到的目的），将所有可能变成正数；（因为i-j的最小值是-n+1，所以加上一个n就一定会变成一个正数）