卡尔曼滤波总结——KF、EFK、UKF

1.用途

现实是我们的处理和测量模型都是非线性的，结果就是一个不规则分布，KF能够使用的前提就是所处理的状态是满足高斯分布的，为了解决这个问题，EKF是寻找一个线性函数来近似这个非线性函数，而UKF就是去找一个与真实分布近似的高斯分布。

• KF处理线性模型:

• EKF 通过雅克比和偏导数近似非线性模型，但是忽略了高阶导数：（强非线性系统下误差大，另一方面Jacobian矩阵的计算复杂）

• UKF 通过去点的方式近似非线性模型，因为没有用雅克比和偏导数，让计算变得更加简单，同时也没有忽略高阶导数项。
• PF不一定限于高斯分布

2.KF

卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全包含噪声的测量(英文:measurement)中，估计动态系统的状态，然而简单的卡尔曼滤波必须应用在符合高斯分布的系统中。

百度百科是这样说的，也就是说卡尔曼滤波第一是递归滤波，其次KF用于线性系统。

但经过研究和改进，出现了很多卡尔曼，如EKF（extended kalman filter）扩展卡尔曼，UKF（Unscented Kalman Filter）无迹卡尔曼等等。

而我们就来研究EKF，而EKF的中心思想就是将非线性系统线形化后再做KF处理。

状态方程　　

当我们从最简单的系统开始，我们假定k时刻的系统状态与k-1时刻有关，于是我们可以得到方程：

其中a为常量，但是当系统内部有噪声，我们称为过程噪声 ，计为w。所以方程可以写成：

而我们实际观测的时候会出现观测噪声，于是我们将观测值计为Z，观测噪声为v，那我们可以把k时刻的观测值与系统状态值写成方程：

于是最简单的系统状态方程就有啦。

卡尔曼滤波算法核心思想在于预测+测量反馈，它由两部分组成，第一部分是 线性系统状态预测方程，第二部分是 线性系统观测方程。

这里系统的预测时候，我们要将通过系统状态方程计算的预测值作为先验信息，之后在观测部分在重新更新这个信息。

回头说状态的预测，我们引入一个符号 ^在相应的变量上表示该变量是预计值。再说一个新概念：新息。一个时间序列{X(t)}里，根据历史数据的预测值，新息是真实值减去预测值。

注：上有波浪线表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是预测值；无标注为真实值

我们给出一个优化过的预测值，新预测值 = 上一轮预测值（先验） + 权重 × 新息，即：

那下一个问题就是权重g是怎么计算得出的呢？答案是间接的从噪声里求得的。当我们将估计协方差叫做p，而传感器的协方差为r，我们通过这两个值计算权重。

既然获得了g，我们下一步将先验信息输入到上面的两个方程中获得后验预测值，也就是我们的输出值。

那整个计算步骤和过程就应该是这样的：

先预测后更新。具体计算过程和曲线生成可以参考levys教程的Part7。

之后我们再说更复杂一点的系统，系统地状态方程引入了输入量U。换句话说有一个U会时刻影响系统状态量。

而观测到的观测值为

那我们新的计算方法就需要引入这两个新的变量，

同样是预测，更新，预测下一时刻，更新的计算方式。

而当系统用矩阵的方式写的状态方程，就需要以矩阵的方式计算。相同的数学公式及计算方法。如P的计算，

又如G，

还有P的更新，

这样的话，我们的系统方程及计算步骤方式如下

需要注意的是我们使用的R是对测量误差v的协方差，当我们在引入一个Q代表过程噪声引起的误差时，可以使系统表现更好，即使Q很小，

2.1 非线性系统之EKF

那如果系统是非线性的呢？我们如果将观测值Z计做X的非线性函数组成的，我们的模型可以改成。

而我们的中心思想是将其线性化，如果我们使用函数一阶导为C来计算G和P。

最后系统复杂到这样的程度，

那我们就引入雅科比矩阵，雅各比矩阵就是方程矩阵对每一个变量的偏导数。

则在向量分析中，雅可比矩阵Jacobian matrix是该函数的所有分量（  个）对向量  的所有分量（  个）的一阶偏导数组成的矩阵。

函数有  个分量，于是有  行。向量  有  个分量，于是有  列。

而最终，F为f方程的雅可比，H为h方程的雅可比。最终计算如下：

到这里简单的EKF就已经完成基本介绍啦。

3.UKF

3.1 模型

z(k+1)=h(x(k+1))

3.2 预测

1.预测sigma point（k+1步的分布点）

2.预测均值（Xpred)和方差(Ppred)

其中：

3.预测测量值

z(k+1)i=h(x(k+1)i)

从而zpred：

3.3更新

1.更新卡尔曼系数

其中：

2.更新最终值：