LCIS最长公共上升子序列

最长公共上升子序列LCIS，如字面意思，就是在对于两个数列A和B的最长的单调递增的公共子序列。

这道题目是LCS和LIS的综合。

在LIS中，我们通过两重循环枚举当序列以当前位置为结尾时，A序列中当前位置之前的数是否比当前位置的数大为条件，进行对于“最长上升子序列”的长度的转移。

方程简单的表示为：f[i] = max{f[i], f[j +1]}(0 <= j < i)

边界为f[0] = 0, 目标为max{f[i]}(1 <= I <= N)

在LCS中，我们使用二维数组，对于状态“f[i, j]表示前缀子串a[1 ~ i]和b[1 ~ j]的最长公共子序列的长度”，将阶段划分为已经处理的前缀长度，f[Ii, j]的长度转移为f[i - 1][j]和f[i][j - 1]的长度，即i的上一位置得到的最长公共子序列长度与当前位置j的前一个位置的最长公共子序列长度，当a[i] == b[j]是，我们还要比较f[i][j]与f[i - 1][j - 1] +1的长度，即a序列与b序列在前一位置的最长公共子序列长度向后扩展1的总长度与当前位置所能够得到的最长公共子序列的长度进行比较，更新最长公共子序列长度

对于LCIS，最长公共上升子序列，我们首先要解决的是公共，然后在解决上升，综合LIS和LCS解法，我们容易得到一个三重循环的写法。

F[I, j]表示A1~Ai与B1~Bj可以构成以Bj为结尾的LCIS的长度。

假设A0 = B0= -∞。

当Ai != Bj时，有f[i, j] = f[i – 1, j]

当Ai == Bj时，有

F[i, j] = max{f[i – 1, k]} + 1(0 <= k < j, Bk < Bj) = max(f[i – 1, k]) + 1(0 <= k <j, Bk < Ai)

这样我们很容易就能把代码写出来

for(int i = ; i <= n; ++i)
    for(int j = ; j <= m; ++j) {
        if(a[i] == b[j])
            for(int k = ; k < j; ++k)
                if(b[k] < a[i])  f[i][j] = max(f[i][j], f[i - ][k] + );
        else f[i][j] = f[i - ][j];
    }

但是三重循环显然不是一个优秀的解法，我们思考如何优化。

在转移过程中，我们把满足0 <= k < j并且Bk < Ai的k构成的集合称为f[i, j]进行状态转移时的决策集合，记为s[i, j]，注意到当第二层循环j增加到m时，j是个定值， 这使得条件Bk小于Ai是固定的，也就是说对于决策集合s[i, j]中的k，Bk小于当前层的Ai是不会有变动的

因此，当变量j增加1是，k的范围变为0 <= k < j + 1，即整数j可能会进入新的决策集合，也就是说，我们只需要O(1)判断Bj < Ai是否满足即可，已经在决策集合中的数则一定不会被去除….(emmm好难懂，终于想通了)，再详细的说就是，当j增加1时，对于k，实际取值变化只是右端多加了1，所以我在填充决策集合时，实际上只需要对刚刚增大的j值进行判断就行了，也就是直接判断Bj < Ai是否成立来判断能否加入决策集合

s(i, j +1) = <1> s(i, j) (Bj >= Ai)

<2> s(i, j) ∪ {j} (Bj < Ai)

所以上述状态转移方程只需要两重循环即可求解

 for(int i = ; i <= n; ++i) {
     int val = ;//val是决策集合s(i, j)中f[i - 1][k]的最大值
     if(b[] < a[i]) val = f[i - ][];//j = 1时，0可以作为b的取值
     for(int j = ; j <= m; ++j) {
         if(a[i] == b[j]) f[i][j] = val + ;
         else f[i][j] = f[i - ][j];
         if(b[j] < a[i]) val = max(val, f[i - ][j]);//j即将增大为j + 1，检查j能否进入决策集合
     }
 }

从这道题的优化中，我们可以总结到，在实现状态转移方程时，要注意观察决策集合的范围随着状态的变化情况，对于“决策集合中的元素只增多不减少”的情景，就可以像本体一样维护一个变量来记录决策集合的当前信息，避免重复扫描，把转移的复杂度降低一个量级