Floyd 算法详解

Floyd-Warshall

Floyd算法，是一种著名的多源最短路算法。

核心思想：

用邻接矩阵存储图，核心代码为三重循环，第一层枚举中间点k，二三层分别枚举起始点i与目标点j。然后判断经过中间点k后，i与j间的路程是否会减小。如果是，就更新i，j之间的最短路。

for(int k=;k<=n;k++)
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
            if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
                e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

需要注意的是，为了保证更新成功，需要将e数组初始化为无穷大。同时为了防止程序做无意义的到自己的最短路，将每个节点到本身的距离初始化为0。

算法复杂度：

该算法的空间复杂度为n^2(不算优秀，但勉强接受),时间复杂度O(n^3)（呵呵）。

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int inf=;
int n,m,x,y,z,s;
int dis[][];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
                if(i!=j) dis[i][j]=inf;
                else dis[i][j]=;
      for(int i=;i<=m;i++)
      {
           scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
           dis[x][y]=dis[y][x]=z;
      }
      for(int k=;k<=n;k++)
          for(int i=;i<=n;i++)
              for(int j=;j<=n;j++)
                  if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
                      dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
     for(int i=;i<=n;i++)
          printf("%d ",dis[s][i]);
      return ;
}

算法优化：

for(int k = ; k <= n; k++)
        for(int i = ; i <= n; i++)
            for(int j = ; j <= i; j++)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j]),
                dis[j][i] = dis[i][j];

这里利用了矩阵的对称性，只更新一半矩阵即可。但整体时间复杂度还是不够理想，依然是O(n^3)。所以通常n较大时不考虑此算法。