Description

  

​   给定正整数\(D\),求有多少个正整数\(N\),满足\(rev(N)=N+D\)。

  

​   其中\(rev(N)\)表示将\(N\)的十进制表示翻转来读得到的数(翻转后忽略前导零)。

  

​   答案对\(10^9+7\)取模。

  

​   \(D \le 10^{9}\)

  

  (实际可以做到\(D \le 10^{5000}\))

  

  

  

Solution

  

  ​ 原题\(D \le 10^9\),暴力可过;但DP做法可以应用到更大的范围。

  

  ​

  

  ​ 考虑枚举\(N\)有多少位,记为\(len\)。

  

​   显然\(len\)不能小于\(D\)的位数,否则一定不合法。并且可以证明,\(len\)超过\(D\)的位数的两倍时,就没有数合法了。再者\(len==1\)的时候也显然不合法。所以枚举区间是\([\max (2,|D|),2|D|]\)。

  

​   设计一个DP来计算在\(N\)的长度为\(len\)时,有多少个数满足条件。

  

​   把和式画出来,并从两端向中间标号:

  



  

​   为什么要这么标号?因为既然是翻转,所以确定一组中的一对数\((x,y)\)就可以确定另一对数\((y,x)\)。

  

​   还要考虑进位问题,那么状态里应该有表示进位的东西。

  

​   设\(f_{i,j,k}\)表示第\(i\)组数,其中左边一组数从其右边有无收到进位(\(j=0,1\)),且右边一组数给其左边有无进位(\(k=0,1\)):

  

​  

  

​   枚举状态\(f_{i,j,k}\),正向转移到可去的状态。枚举\(i+1\)组的\(x'\)选0...9,并通过右边一组数的\(k\)和相应位置的\(D\)的数位算出\(y''\)与\(k'\)。再用左边一组数的\(j\)来计算出\(j'\)。如果\(j'<0\)或者\(j'>1\)就说明这个转移不合法,舍弃。因此,每个\(x\)的取值对应了唯一对应(有可能不合法,舍弃)的新状态\(f_{i+1,j',k'}\),将方案数加上即可。

  

​   注意第1组数的\(x\)不可以选0,不然会违背当前正在考虑长度为\(len\)的\(N\)这个前提。

  

​   如果\(len\)是偶数,那么对于\(i=1..\frac{len}{2}\)计算\(f\),答案即为\(f_{\frac{len}2,0,0}+f_{\frac{len}2,1,1}\)

  

​   如果\(len\)是奇数,则先对于\(i=1...\lfloor \frac{len}2 \rfloor\)计算\(f\),先枚举每个最终状态,再枚举最中间一位选择\(0...9\),是否能满足各个进位与否的要求,统计进答案即可。

  

​  

  

​   总时间复杂度\(\mathcal O(\frac{|D|^2}2*10*2*2)=\mathcal O(|D|^220)\),基本上不会跑满。我造数据时测了一下5000可以秒出,题目就开了5000的长度;然后我SUODCX后构造了一组特殊数据,使得\(N\)长度恰好是\(2|D|\)时也有解,几乎把复杂度卡满了,所以这个点只开到了3000(已经可以跑得出了).

  

  

   

Code

  

c++
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=10010,MOD=1e9+7;
int d[N];
int f[N][2][2];
inline int max(int x,int y){
return x>y?x:y;
}
void readData(){
static char str[N];
scanf("%s",str+1);
d[0]=strlen(str+1);
for(int i=1;i<=d[0];i++) d[d[0]-i+1]=str[i]-'0';
}
int dp(int n){
int m=n>>1;
for(int i=0;i<=m;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
f[i][j][k]=0;
f[0][0][0]=1;
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
if(f[i][j][k]){
for(int x=0,y,j1,k1;x<10;x++){
k1=x+d[i+1]+k;
y=k1%10;
k1/=10;
j1=10*j+x-y-d[n-i];
if(j1<0||j1>1) continue;
if(!i&&(!x||!y)) continue;
(f[i+1][j1][k1]+=f[i][j][k])%=MOD;
}
}
int res=0;
if(n&1){
int mid=(n+1)>>1;
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
if(f[m][j][k])
for(int x=0,y;x<10;x++){
y=x+d[mid]+k;
if((x==y%10)&&(y/10==j))
(res+=f[m][j][k])%=MOD;
}
}
else{
for(int j=0;j<2;j++)
(res+=f[m][j][j])%=MOD;
}
return res;
}
void solve(){
int ans=0,maxlen=d[0]<<1;
for(int i=max(2,d[0]);i<=maxlen;i++)
(ans+=dp(i))%=MOD;
printf("%d\n",ans<0?ans+MOD:ans);
}
int main(){
readData();
solve();
return 0;
}

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