[Thinkbayes]贝叶斯思维读书笔记-2-火车头问题

今天，我们继续我们的笔记。

作者在第三章继续举了一个例子。火车头问题（读者在此可能会觉得这个问题没有意义，但相信随着深入阅读，这个问题会被解答）。

这个举例恰到好处，能够让我深入理解到底应该如何假设，也能更好的诠释2.5章节中的封装框架。

回顾一下曲奇饼问题中，我们的假设是什么？（不要忘记，我们的假设决定先验概率）

假设A：香草味的饼来自筐1，先验概率1/2。

假设B：香草味的饼来自筐2，先验概率1/2。

再来看看火车头问题中我们的假设：

假设1：公司有1个火车头，先验概率1/N。

假设2：公司有2个火车头，先验概率1/N。

......

假设60：公司有60个火车头，先验概率1/N。

......

假设1000：公司有1000个火车头，先验概率1/N。

......

理论上，我们应该继续我们的假设直到无线多个火车头。但是这并不利于我们进行计算。就目前来将，我们只能假设“从1到1000个等可能的任何值”。大家可以直接将每一个可能性（现在是1000个）看作是一个对应的“筐”。第500个可能性对应第“500号筐”，而这个框中有500个火车头，那么我们看到第60号火车头的概率（也就是似然度）就是1/500。

接下来，我们进一步简化：我们看到的是2号火车头，我们假设“从1到3个等可能的任何值”。这样，我们的先验概率、似然度、后验概率就很好得出了：

P(H)    P(D|H)    P(H)P(D|H)    P(H|D)

A     1/3        0              0                 0

B     1/3        1/2           1/6              3/5

C     1/3        1/3           1/9              2/5

这样，想必大家能更容易理解，在火车头问题中如何应用贝叶斯定理。

我们再回头看一下，作者为我们提供的贝叶斯框架，其主要为3个函数：

__init__()

Update()

Likelihood()

__init__() 函数直接决定了我们的假设方式及先验分布，我们看到在之前的例子中，作者一直没有重写该函数，原因正是因为我们的假设内容及先验分布的类型一直都没变过，一直是等可能的类型。

Likelihood() 函数实际上帮我们取到某种假设的似然度，注意Likelihood就是英文中的似然度。

Update() 方法调用到先验概率和似然度，然后执行 Pmf 的 Mult 方法。实际上就是 “更新基于该数据的每个假设”（原译者），更合适地应该说“基于某一个数据，更新或者说创建每个假设的后验概率”

当然，火车头问题并没有就此结束。作者提到，当我们变更假设的值的范围时，我们会得到差异非常大的结果。这主要是因为我们的假设出了一小点问题，到不因为范围的上限，而是因为先验分布并不是等可能的，而应该基于某种模型。原书提供了一种，为罗伯特的幂率模型：PMF(x)∝ (1/x)的α次方。当然实际上我们进一步简化，另α = 1 。这样，在我们了Likelihood()方法及Update()方法后，我们就能够得到这个最终的类了。