【BZOJ2318】Spoj4060 game with probability Problem

Description

Alice和Bob在玩一个游戏。有n个石子在这里,Alice和Bob轮流投掷硬币,如果正面朝上,则从n个石子中取出一个石子,否则不做任何事。取到最后一颗石子的人胜利。Alice在投掷硬币时有p的概率投掷出他想投的一面,同样,Bob有q的概率投掷出他相投的一面。

现在Alice先手投掷硬币,假设他们都想赢得游戏,问你Alice胜利的概率为多少。

Input

第一行一个正整数t,表示数据组数。

对于每组数据,一行三个数n,p,q。

Output

对于每组数据输出一行一个实数,表示Alice胜利的概率,保留6位小数。

Sample Input

1
1 0.5 0.5

Sample Output

0.666667

HINT

数据范围:

1<=t<=50

0.5<=p,q<=0.99999999

对于100%的数据 1<=n<=99999999

题解:设f[i]表示轮到A投时A的胜率,g[i]表示轮到B投时A的胜率,x表示A投正面的概率,y表示B投正面的概率。

先得出朴素方程:

f[i]=g[i]*(1-x)+g[i-1]*x

g[i]=f[i]*(1-y)+f[i-1]*y

解方程,得

f[i]=(x*g[i-1]+(1-x)*y*f[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
g[i]=(y*f[i-1]+(1-y)*x*g[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));

然后容易看出,当f[i-1]<g[i-1]时,x=p,y=q最优,当f[i-1]>g[i-1]时,x=1-p,y=1-q最优

然而n太大了怎么办?我们有黑科技!

当n足够大时f[n]和g[n]一定会稳定在某个值附近,于是我们令n=min(n,1000)就好了

  1. #include <cstdio>
  2. #include <iostream>
  3. using namespace std;
  4. int n;
  5. double f[1010],g[1010],p,q,x,y;
  6. int main()
  7. {
  8. int t,n,i;
  9. scanf("%d",&t);
  10. while(t--)
  11. {
  12. scanf("%d%lf%lf",&n,&p,&q);
  13. n=min(n,1000);
  14. f[0]=0,g[0]=1;
  15. for(i=1;i<=n;i++)
  16. {
  17. if(f[i-1]>g[i-1]) x=1-p,y=1-q;
  18. else x=p,y=q;
  19. f[i]=(x*g[i-1]+(1-x)*y*f[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
  20. g[i]=(y*f[i-1]+(1-y)*x*g[i-1])/(1-(1-x)*(1-y));
  21. }
  22. printf("%.6f\n",f[n]);
  23. }
  24. return 0;
  25. }

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